Jika diketahui x sudut lancip, dan tan x=2, tentukan nilai

cos 1/2 x = \(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}\)

Pembahasan

Untuk menentukan nilai cos 1/2 x, kita perlu menggunakan identitas trigonometri. Diketahui tan x = 2. Karena x adalah sudut lancip, maka x berada di kuadran I, di mana semua nilai trigonometri positif.

Kita bisa menggunakan identitas \(1 + \tan^2 x = \sec^2 x\) untuk mencari \(\sec x\).
\(\sec^2 x = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5\)
Karena x lancip, \(\sec x = \sqrt{5}\). Kemudian, \(\cos x = \frac{1}{\sec x} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\).

Selanjutnya, kita gunakan identitas \(\cos x = 2\cos^2(\frac{1}{2}x) - 1\).
\(\frac{\sqrt{5}}{5} = 2\cos^2(\frac{1}{2}x) - 1\)
\(2\cos^2(\frac{1}{2}x) = 1 + \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{5+\sqrt{5}}{5}\)
\(\cos^2(\frac{1}{2}x) = \frac{5+\sqrt{5}}{10}\)
Karena x lancip (0 < x < 90 derajat), maka 0 < 1/2 x < 45 derajat, yang berarti 1/2 x juga lancip, sehingga cos 1/2 x positif.
\(\cos(\frac{1}{2}x) = \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}\)

Jawaban Ringkas: \(\cos(\frac{1}{2}x) = \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}\)