Jika f(x)=1/(2x^2), maka lim t->0 (f(x+t)-f(x))/t adalah .

-1/x³

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari lim t->0 (f(x+t)-f(x))/t dengan f(x) = 1/(2x²), kita perlu menghitung limit definisi turunan.

Langkah 1: Tentukan f(x+t).
Jika f(x) = 1/(2x²), maka:
f(x+t) = 1 / (2(x+t)²)
f(x+t) = 1 / (2(x² + 2xt + t²))
f(x+t) = 1 / (2x² + 4xt + 2t²)

Langkah 2: Hitung f(x+t) - f(x).
f(x+t) - f(x) = [1 / (2x² + 4xt + 2t²)] - [1 / (2x²)]
Untuk mengurangkan pecahan ini, kita samakan penyebutnya.
Penyebut bersama adalah (2x² + 4xt + 2t²)(2x²).

f(x+t) - f(x) = [2x² - (2x² + 4xt + 2t²)] / [(2x² + 4xt + 2t²)(2x²)]
f(x+t) - f(x) = [2x² - 2x² - 4xt - 2t²] / [(2x² + 4xt + 2t²)(2x²)]
f(x+t) - f(x) = [-4xt - 2t²] / [4x⁴ + 8x³t + 4x²t²]

Langkah 3: Bagi dengan t.
(f(x+t) - f(x)) / t = [-4xt - 2t²] / [t * (4x⁴ + 8x³t + 4x²t²)]
(f(x+t) - f(x)) / t = t(-4x - 2t) / [t * (4x⁴ + 8x³t + 4x²t²)]
Kita bisa membatalkan t di pembilang dan penyebut (dengan asumsi t ≠ 0):
(f(x+t) - f(x)) / t = (-4x - 2t) / (4x⁴ + 8x³t + 4x²t²)

Langkah 4: Hitung limit saat t → 0.
lim t->0 [(-4x - 2t) / (4x⁴ + 8x³t + 4x²t²)]
Ganti t dengan 0:
= (-4x - 2(0)) / (4x⁴ + 8x³(0) + 4x²(0)²)
= (-4x) / (4x⁴)
= -1 / x³

Jadi, nilai dari lim t->0 (f(x+t)-f(x))/t adalah -1/x³.