Jika f(x)=ax+b dan lim x -> 4 (x+f(x))/(akar(x)-2)=8, maka

f(2) = -6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat limit dan substitusi.

Diketahui:
f(x) = ax + b
lim (x→4) [(x + f(x)) / (√x - 2)] = 8

Karena pembagi (√x - 2) mendekati 0 ketika x mendekati 4, maka pembilang (x + f(x)) juga harus mendekati 0 agar limitnya bernilai terhingga (8).

x + f(x) = 0 ketika x = 4
4 + f(4) = 0
f(4) = -4

Substitusikan f(x) = ax + b ke dalam f(4) = -4:
a(4) + b = -4
4a + b = -4  (Persamaan 1)

Sekarang kita gunakan informasi limit:
lim (x→4) [(x + ax + b) / (√x - 2)] = 8
lim (x→4) [( (1+a)x + b ) / (√x - 2)] = 8

Karena kita tahu bahwa ketika x mendekati 4, pembilang juga harus mendekati 0, maka:
(1+a)(4) + b = 0
4 + 4a + b = 0
4a + b = -4  (Ini adalah Persamaan 1 yang sudah kita dapatkan, jadi ini tidak memberikan informasi baru).

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 ketika x=4.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim (x→c) [f(x)/g(x)] menghasilkan bentuk 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim (x→c) [f'(x)/g'(x)].

Turunan dari pembilang (x + f(x)) terhadap x adalah 1 + f'(x).
Karena f(x) = ax + b, maka f'(x) = a.
Jadi, turunan pembilang adalah 1 + a.

Turunan dari penyebut (√x - 2) terhadap x adalah d/dx (x^(1/2) - 2) = (1/2)x^(-1/2) = 1 / (2√x).

Menerapkan Aturan L'Hopital:
lim (x→4) [(1 + a) / (1 / (2√x))] = 8
lim (x→4) [2√x (1 + a)] = 8
2√4 (1 + a) = 8
2(2)(1 + a) = 8
4(1 + a) = 8
1 + a = 2
a = 1

Sekarang substitusikan nilai a = 1 ke dalam Persamaan 1:
4a + b = -4
4(1) + b = -4
4 + b = -4
b = -8

Jadi, fungsi f(x) adalah f(x) = 1x - 8 atau f(x) = x - 8.

Yang ditanyakan adalah nilai f(2):
f(2) = 2 - 8
f(2) = -6