Jika fungsi f(x)=x^3+px^2-9x hanya didefinisikan untuk

Nilai $p$ adalah 3.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai $p$ dari fungsi $f(x) = x^3 + px^2 - 9x$ yang mencapai nilai maksimum pada saat $x = -3$ dalam interval $-5 

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Cari turunan pertama dari fungsi $f(x)$.
2. Cari titik kritis dengan menyamakan turunan pertama dengan nol.
3. Gunakan informasi bahwa nilai maksimum dicapai pada $x = -3$ untuk menentukan nilai $p$.

1. Turunan pertama dari $f(x)$:
$f'(x) = d/dx (x^3 + px^2 - 9x)$
$f'(x) = 3x^2 + 2px - 9$

2. Cari titik kritis:
Titik kritis terjadi ketika $f'(x) = 0$.
$3x^2 + 2px - 9 = 0$

3. Gunakan informasi nilai maksimum pada $x = -3$:
Karena $f(x)$ mencapai nilai maksimum pada $x = -3$, maka $x = -3$ adalah salah satu titik kritis. Ini berarti $f'(-3) = 0$.
Substitusikan $x = -3$ ke dalam $f'(x)$:
$f'(-3) = 3(-3)^2 + 2p(-3) - 9$
$0 = 3(9) - 6p - 9$
$0 = 27 - 6p - 9$
$0 = 18 - 6p$
$6p = 18$
$p = 18 / 6$
$p = 3$

Sekarang kita perlu memverifikasi apakah $x = -3$ memang merupakan titik maksimum pada interval yang diberikan $(-5 

Substitusikan $p = 3$ ke dalam $f'(x)$:
$f'(x) = 3x^2 + 2(3)x - 9$
$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$

Untuk mencari titik kritis lainnya, samakan $f'(x) = 0$:
$3x^2 + 6x - 9 = 0$
Bagi dengan 3:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat:
$(x+3)(x-1) = 0$

Jadi, titik kritisnya adalah $x = -3$ dan $x = 1$.

Interval yang diberikan adalah $-5 

Kita perlu mengevaluasi fungsi $f(x)$ pada titik-titik kritis yang berada dalam interval dan pada batas interval:
Titik kritis dalam interval: $x = -3$.
Batas interval: $x = -5$ dan $x = 0$.

Fungsi dengan $p = 3$: $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$

Evaluasi pada $x = -3$:
$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3)$
$f(-3) = -27 + 3(9) + 27$
$f(-3) = -27 + 27 + 27 = 27$

Evaluasi pada $x = -5$:
$f(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 9(-5)$
$f(-5) = -125 + 3(25) + 45$
$f(-5) = -125 + 75 + 45 = -50 + 45 = -5$

Evaluasi pada $x = 0$:
$f(0) = (0)^3 + 3(0)^2 - 9(0)$
$f(0) = 0$

Berdasarkan evaluasi ini, nilai maksimum pada interval $[-5, 0]$ adalah $f(-3) = 27$.
Ini sesuai dengan informasi soal bahwa fungsi mencapai nilai maksimum pada saat $x = -3$.

Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 3$.