Jika garis singgung dari kurva y=(x)/(1-x) pada x=a

$b = \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2}$

Pembahasan

Mari kita analisis soal ini:
Kita diberikan fungsi $y = \frac{x}{1-x}$ dan garis singgung pada $x=a$. Gradien garis singgung pada $x=a$ adalah turunan pertama dari fungsi tersebut dievaluasi pada $x=a$, yaitu $y'$.

Pertama, kita cari turunan dari $y = \frac{x}{1-x}$ menggunakan aturan kuosien $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, di mana $u=x$ dan $v=1-x$. Maka $u'=1$ dan $v'=-1$.

$y' = \frac{(1)(1-x) - (x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$.

Gradien garis singgung pada $x=a$ adalah $m = y'(a) = \frac{1}{(1-a)^2}$.

Titik pada kurva ketika $x=a$ adalah $(a, \frac{a}{1-a})$.

Persamaan garis singgung pada $x=a$ adalah $y - y_1 = m(x - x_1)$, yaitu:
$y - \frac{a}{1-a} = \frac{1}{(1-a)^2}(x - a)$.

Garis singgung ini memotong garis $y=-x$ di titik $(b, -b)$. Ini berarti titik $(b, -b)$ memenuhi persamaan garis singgung.
Substitusikan $x=b$ dan $y=-b$ ke dalam persamaan garis singgung:
$-b - \frac{a}{1-a} = \frac{1}{(1-a)^2}(b - a)$.

Sekarang kita perlu menyelesaikan persamaan ini untuk $b$ dalam kaitannya dengan $a$.
Kalikan kedua sisi dengan $(1-a)^2$ untuk menghilangkan penyebut:
$-b(1-a)^2 - \frac{a(1-a)^2}{1-a} = b - a$
$-b(1-a)^2 - a(1-a) = b - a$
$-b(1 - 2a + a^2) - (a - a^2) = b - a$
$-b + 2ab - a^2b - a + a^2 = b - a$
Pindahkan semua suku yang mengandung $b$ ke satu sisi dan suku lainnya ke sisi lain:
$2ab - a^2b - b = a + a^2b - a^2$
$b(2a - a^2 - 1) = a^2 - a$
$b(-(a^2 - 2a + 1)) = a^2 - a$
$-b(a-1)^2 = a(a-1)$

Jika $a \neq 1$, kita bisa membagi kedua sisi dengan $(a-1)$:.
$-b(a-1) = a$
$-ab + b = a$
$b = a + ab$
$b = a(1+b)$ -> Ini bukan cara yang benar

Mari kita kembali ke $-b(a-1)^2 = a(a-1)$.
Jika $a = 1$, maka penyebut pada gradien menjadi nol, sehingga garis singgung tidak terdefinisi dengan baik, atau merupakan garis vertikal. Mari kita asumsikan $a \neq 1$.

Kita punya $-b(a-1)^2 = a(a-1)$.
Bagi kedua sisi dengan $(a-1)$: $-b(a-1) = a$.
Bagi kedua sisi dengan $(a-1)$ lagi (asumsi $a 
eq 1$):
$-b = \frac{a}{a-1}$
$b = -\frac{a}{a-1}$
$b = \frac{a}{1-a}$.

Mari kita cek kembali langkah-langkahnya.
$-b(1-a)^2 - a(1-a) = b - a$
$-b(1 - 2a + a^2) - a + a^2 = b - a$
$-b + 2ab - a^2b - a + a^2 = b - a$
$2ab - a^2b - b = a - a + a^2$
$b(2a - a^2 - 1) = a^2$
$b(-(a^2 - 2a + 1)) = a^2$
$-b(a-1)^2 = a^2$
$b = -\frac{a^2}{(a-1)^2}$
$b = \frac{a^2}{(1-a)^2}$.

Mari kita lihat pilihan jawaban:
A. $\frac{a^2}{a^2-2 a+2}$
B. $\frac{a^2}{1-a}$
C. $\frac{a^2-1}{2 a}$
D. $\frac{a^2}{2+a}$
E. $\frac{a^2}{2-a}$

Sepertinya ada kesalahan dalam penyelesaian atau soalnya.

Mari kita coba substitusi $y=-x$ ke dalam persamaan garis singgung.
$-x - \frac{a}{1-a} = \frac{1}{(1-a)^2}(x - a)$.
Kita ingin mencari nilai $x$ yang sama dengan $b$.
$-x(1-a)^2 - \frac{a(1-a)^2}{1-a} = x - a$
$-x(1-a)^2 - a(1-a) = x - a$
$-x(1-2a+a^2) - a + a^2 = x - a$
$-x + 2ax - a^2x - a + a^2 = x - a$
$2ax - a^2x + a^2 = x + x$
$x(2a - a^2) + a^2 = 2x$
$a^2 = 2x - x(2a - a^2)$
$a^2 = x(2 - (2a - a^2))$
$a^2 = x(2 - 2a + a^2)$
$x = \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2}$.
Karena titik potongnya adalah $(b, -b)$, maka $x=b$.
Jadi, $b = \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2}$.

Ini sesuai dengan pilihan A.

**Jawaban Lengkap:**
1. Cari turunan pertama dari $y = \frac{x}{1-x}$ untuk mendapatkan gradien garis singgung.
   Menggunakan aturan kuosien: $y' = \frac{(1)(1-x) - (x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
2. Gradien garis singgung pada $x=a$ adalah $m = y'(a) = \frac{1}{(1-a)^2}$.
3. Titik pada kurva saat $x=a$ adalah $(a, \frac{a}{1-a})$.
4. Persamaan garis singgung adalah $y - y_1 = m(x - x_1)$:
   $y - \frac{a}{1-a} = \frac{1}{(1-a)^2}(x - a)$.
5. Garis singgung memotong garis $y=-x$ di titik $(b, -b)$. Substitusikan $x=b$ dan $y=-b$ ke dalam persamaan garis singgung:
   $-b - \frac{a}{1-a} = \frac{1}{(1-a)^2}(b - a)$.
6. Selesaikan persamaan untuk $b$ dalam kaitannya dengan $a$.
   Kalikan kedua sisi dengan $(1-a)^2$: $-b(1-a)^2 - a(1-a) = b - a$.
   $-b(1 - 2a + a^2) - a + a^2 = b - a$.
   $-b + 2ab - a^2b - a + a^2 = b - a$.
   $2ab - a^2b - b = a - a + a^2 - a^2$
   $b(2a - a^2 - 1) = a^2 - a^2$
   Oops, kesalahan lagi.

   Mari kita ulangi langkah 5 dan 6:
   Substitusikan $x=b$ dan $y=-b$ ke dalam persamaan garis singgung:
   $-b - \frac{a}{1-a} = \frac{1}{(1-a)^2}(b - a)$.
   Kita mencari nilai $b$ yang memenuhi persamaan ini. Jika titik $(b,-b)$ ada pada garis singgung, maka saat $x=b$, nilai $y$ pada garis singgung adalah $-b$.
   Substitusi $x=b$ pada persamaan garis singgung:
   $y_{garissinggung} = \frac{1}{(1-a)^2}(b - a) + \frac{a}{1-a}$.
   Kita ingin $y_{garissinggung} = -b$.
   $-b = \frac{b - a}{(1-a)^2} + \frac{a(1-a)}{(1-a)^2}$.
   $-b = \frac{b - a + a - a^2}{(1-a)^2}$.
   $-b = \frac{b - a^2}{(1-a)^2}$.
   $-b(1-a)^2 = b - a^2$.
   $-b(1 - 2a + a^2) = b - a^2$.
   $-b + 2ab - a^2b = b - a^2$.
   $a^2 = b + b - 2ab + a^2b$.
   $a^2 = 2b - 2ab + a^2b$.
   $a^2 = b(2 - 2a + a^2)$.
   $b = \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2}$.

**Jawaban Ringkas:**
$b = \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2}$