Jika grafik fungsi kuadrat f(x)=a x^2+b x+c dengan titik

Agar grafik fungsi kuadrat f(x)=ax^2+bx+c dengan titik puncak (5,-4) memotong sumbu-X positif dan negatif, maka nilai 'a' harus memenuhi 0 < a < 4/25.

Pembahasan

Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c.
Diketahui titik puncak parabola adalah (5, -4).
Rumus umum untuk titik puncak parabola y = ax^2 + bx + c adalah (-b/2a, -D/4a), di mana D = b^2 - 4ac.

Dari titik puncak (5, -4), kita memiliki:
1. Sumbu simetri: -b/2a = 5  => b = -10a
2. Nilai minimum/maksimum: f(5) = -4
   a(5)^2 + b(5) + c = -4
   25a + 5b + c = -4

Substitusikan b = -10a ke dalam persamaan kedua:
25a + 5(-10a) + c = -4
25a - 50a + c = -4
-25a + c = -4  => c = 25a - 4

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X jika f(x) = 0.
ax^2 + bx + c = 0

Karena titik puncaknya berada di bawah sumbu-X (y = -4) dan parabola terbuka ke atas (agar memotong sumbu-X positif dan negatif, serta memiliki titik puncak di bawah sumbu-X, nilai 'a' harus positif), maka diskriminan (D) harus positif.

Diskriminan D = b^2 - 4ac.
Karena parabola memotong sumbu-X di dua titik yang berbeda, maka D > 0.

Ganti b dan c dengan ekspresi dalam 'a':
D = (-10a)^2 - 4a(25a - 4)
D = 100a^2 - 100a^2 + 16a
D = 16a

Agar D > 0, maka 16a > 0, yang berarti a > 0.

Selanjutnya, kita perlu memastikan bahwa titik potong sumbu-X berada di sisi positif dan negatif. Titik potong sumbu-X diberikan oleh rumus x = (-b ± √D) / 2a.

Karena sumbu simetri adalah x = 5 (positif), dan parabola memotong sumbu X di dua titik, maka satu titik potong harus di sebelah kiri sumbu simetri (x < 5) dan satu lagi di sebelah kanan (x > 5). Agar satu titik potong berada di sumbu-X negatif, maka nilai x yang lebih kecil harus negatif.

Mari kita pertimbangkan kondisi memotong sumbu-X positif dan negatif. Ini berarti bahwa f(0) harus memiliki tanda yang berlawanan dengan nilai f(x) pada salah satu sisi sumbu simetri yang jauh dari titik potong sumbu-X. Namun, kondisi yang lebih langsung adalah:

Jika sebuah parabola dengan titik puncak (h, k) memotong sumbu-X positif dan negatif, maka:
1. 'a' harus memiliki tanda yang berlawanan dengan tanda 'k' (jika k negatif, a positif, agar parabola terbuka ke atas dan memotong sumbu-X).
2. Nilai f(0) harus negatif jika sumbu simetri positif, atau positif jika sumbu simetri negatif, agar ada perpotongan di kedua sisi sumbu Y.

Dalam kasus ini, titik puncak adalah (5, -4). Karena k = -4 (negatif), maka 'a' harus positif (a > 0) agar parabola terbuka ke atas dan memotong sumbu-X.

Sekarang kita periksa f(0):
f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c.
Kita punya c = 25a - 4.

Agar memotong sumbu-X positif dan negatif, ini berarti kedua akar persamaan ax^2 + bx + c = 0 harus memiliki tanda yang berbeda. Hasil kali akar-akar (x1 * x2) adalah c/a.
Untuk akar dengan tanda berbeda, c/a harus negatif.

c/a < 0
(25a - 4) / a < 0

Karena kita sudah menentukan bahwa a > 0, maka penyebut 'a' positif. Agar hasil bagi negatif, pembilang harus negatif:
25a - 4 < 0
25a < 4
a < 4/25

Jadi, kita memiliki dua kondisi untuk 'a': a > 0 dan a < 4/25.
Ini berarti 0 < a < 4/25.

Kesimpulan:
Jika grafik fungsi kuadrat f(x)=ax^2+bx+c dengan titik puncak (5,-4) memotong sumbu-X positif dan sumbu-X negatif, maka nilai 'a' harus berada di antara 0 dan 4/25 (0 < a < 4/25).
Ini juga menyiratkan bahwa koefisien 'b' yang sama dengan -10a akan berada di antara 0 dan -40/25 (-4/5), dan 'c' yang sama dengan 25a - 4 akan berada di antara -4 dan -3.