Jika integral 0 k (6x-2x^3) dx=k^2, k>0 maka nilai k yang

k=2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal integral ini, kita perlu mengevaluasi integral tentu dari fungsi \(6x - 2x^3\) dari 0 hingga k, dan menyamakannya dengan \(k^2\).

Langkah 1: Hitung integral tak tentu dari \(6x - 2x^3\).
Integral dari \(6x\) adalah \(\frac{6x^{1+1}}{1+1} = \frac{6x^2}{2} = 3x^2\).
Integral dari \(-2x^3\) adalah \(\frac{-2x^{3+1}}{3+1} = \frac{-2x^4}{4} = -\frac{1}{2}x^4\).
Jadi, integral tak tentunya adalah \(3x^2 - \frac{1}{2}x^4 + C\).

Langkah 2: Evaluasi integral tentu dari 0 hingga k.
\(\int_{0}^{k} (6x - 2x^3) dx = [3x^2 - \frac{1}{2}x^4]_{0}^{k}\)

Langkah 3: Substitusikan batas atas dan batas bawah.
\(= (3k^2 - \frac{1}{2}k^4) - (3(0)^2 - \frac{1}{2}(0)^4)\)
\(= 3k^2 - \frac{1}{2}k^4\)

Langkah 4: Samakan hasil integral dengan \(k^2\) sesuai soal.
\(3k^2 - \frac{1}{2}k^4 = k^2\)

Langkah 5: Selesaikan persamaan untuk k.
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
\(3k^2 - k^2 - \frac{1}{2}k^4 = 0\)
\(2k^2 - \frac{1}{2}k^4 = 0\)
Kalikan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:
\(4k^2 - k^4 = 0\)
Faktorkan \(k^2\):
\(k^2(4 - k^2) = 0\)
Ini memberikan dua kemungkinan:
\(k^2 = 0 \Rightarrow k = 0\)
Atau
\(4 - k^2 = 0 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = \pm 2\)

Langkah 6: Tentukan nilai k yang memenuhi syarat soal.
Soal menyatakan bahwa \(k > 0\). Oleh karena itu, nilai k yang memenuhi adalah \(k = 2\).