Jika jumlah 3n pertama dari bilangan bulat positif adalah

300

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan deret aritmetika. Diketahui bahwa jumlah 3n suku pertama dari barisan bilangan bulat positif adalah 150 lebih besar dari jumlah n suku pertama. Kita perlu mencari jumlah 4n suku pertama.

Misalkan deret bilangan bulat positif adalah 1, 2, 3, ..., k. Jumlah k suku pertama dari deret aritmetika adalah S_k = k/2 * (a_1 + a_k) atau S_k = k/2 * (2a_1 + (k-1)d), di mana a_1 adalah suku pertama dan d adalah beda.

Untuk bilangan bulat positif, a_1 = 1 dan d = 1.
Jadi, jumlah n suku pertama adalah S_n = n/2 * (2*1 + (n-1)*1) = n/2 * (2 + n - 1) = n/2 * (n+1).

Jumlah 3n suku pertama adalah S_{3n} = (3n)/2 * (2*1 + (3n-1)*1) = (3n)/2 * (2 + 3n - 1) = (3n)/2 * (3n+1).

Menurut soal, S_{3n} = S_n + 150.
(3n)/2 * (3n+1) = n/2 * (n+1) + 150

Kalikan kedua sisi dengan 2 untuk menghilangkan penyebut:
3n * (3n+1) = n * (n+1) + 300
9n^2 + 3n = n^2 + n + 300

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
9n^2 - n^2 + 3n - n - 300 = 0
8n^2 + 2n - 300 = 0

Bagi dengan 2:
4n^2 + n - 150 = 0

Kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat ini untuk n menggunakan rumus kuadratik n = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a).
Di sini, a=4, b=1, c=-150.

n = [-1 ± sqrt(1^2 - 4*4*(-150))] / (2*4)
n = [-1 ± sqrt(1 + 2400)] / 8
n = [-1 ± sqrt(2401)] / 8

Karena sqrt(2401) = 49:
n = [-1 ± 49] / 8

Kita ambil nilai positif karena n harus bilangan bulat positif:
n = (-1 + 49) / 8 = 48 / 8 = 6.

Jadi, n = 6.

Sekarang kita perlu mencari jumlah 4n bilangan bulat positif pertama, yaitu jumlah 4*6 = 24 suku pertama.
S_{24} = 24/2 * (2*1 + (24-1)*1)
S_{24} = 12 * (2 + 23)
S_{24} = 12 * 25
S_{24} = 300.

Jadi, jumlah 4n bilangan bulat positif pertama adalah 300.