Jika kurva y=(x^2-a)(2x+b)^3 turun pada interval -1<x<2/5

Nilai $ab$ adalah 2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai $ab$ dari kurva $y = (x^2-a)(2x+b)^3$ yang turun pada interval $-1 < x < 2/5$, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi $y$ terhadap $x$, yaitu $y'$. Fungsi ini akan turun ketika $y' < 0$.\n\nLangkah-langkahnya adalah sebagai berikut:\n1. Cari turunan pertama $y'$ menggunakan aturan perkalian dan aturan rantai:\n   $y' = \frac{d}{dx}[(x^2-a)(2x+b)^3]$
   $y' = (2x)(2x+b)^3 + (x^2-a) \cdot 3(2x+b)^2 \cdot 2$
   $y' = 2x(2x+b)^3 + 6(x^2-a)(2x+b)^2$
2. Faktorkan $(2x+b)^2$ dari kedua suku:\n   $y' = (2x+b)^2 [2x(2x+b) + 6(x^2-a)]$
   $y' = (2x+b)^2 [4x^2 + 2bx + 6x^2 - 6a]$
   $y' = (2x+b)^2 [10x^2 + 2bx - 6a]$
3. Agar fungsi turun, $y' < 0$. Karena $(2x+b)^2$ selalu non-negatif (selain jika $2x+b=0$), tanda $y'$ ditentukan oleh faktor $[10x^2 + 2bx - 6a]$. Agar fungsi turun pada interval $-1 < x < 2/5$, maka $[10x^2 + 2bx - 6a]$ harus negatif pada interval tersebut.\n4. Agar kuadratik $[10x^2 + 2bx - 6a]$ negatif pada interval tertentu, maka akar-akar dari persamaan $10x^2 + 2bx - 6a = 0$ harus berada di luar interval tersebut atau pada batas interval. Namun, informasi mengenai interval $-1 < x < 2/5$ sebagai interval turun menunjukkan bahwa ekspresi kuadratik tersebut harus negatif di antara kedua akar tersebut, dan akar-akarnya haruslah $-1$ dan $2/5$ (atau sebaliknya, tergantung pada koefisien $x^2$).\n   Misalkan akar-akarnya adalah $x_1 = -1$ dan $x_2 = 2/5$.\n   Menggunakan sifat akar-akar persamaan kuadrat ($ax^2+bx+c=0$):\n   Jumlah akar: $x_1 + x_2 = -b/a$
   Hasil kali akar: $x_1 	imes x_2 = c/a$\n   Dalam kasus kita, persamaan kuadratiknya adalah $10x^2 + (2b)x + (-6a) = 0$. Koefisiennya adalah $A=10$, $B=2b$, $C=-6a$.\n   Jumlah akar: $-1 + 2/5 = -3/5$.\n   Menurut rumus, jumlah akar adalah $-B/A = -(2b)/10 = -b/5$.\n   Maka, $-b/5 = -3/5 \implies b = 3$.\n   Hasil kali akar: $(-1) \times (2/5) = -2/5$.\n   Menurut rumus, hasil kali akar adalah $C/A = (-6a)/10 = -3a/5$.\n   Maka, $-3a/5 = -2/5 \implies 3a = 2 \implies a = 2/3$.\n5. Hitung nilai $ab$: $ab = (2/3) \times 3 = 2$.\n\nJawaban: Nilai $ab$ adalah 2.