Jika lim x -> 0 g(x)/x=1 maka nilai lim x -> 0

Nilai limitnya adalah -2.

Pembahasan

Diketahui $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 1$. Kita diminta untuk mencari nilai dari $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}$.

Dari informasi yang diberikan, kita tahu bahwa jika $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 1$, maka ini menyiratkan bahwa $g(x)$ mendekati $x$ ketika $x$ mendekati 0. Lebih formalnya, kita bisa mengatakan bahwa $g(x) = x \cdot k(x)$ di mana $\lim_{x \to 0} k(x) = 1$. Atau, kita bisa mengalikan dan membagi dengan $x$ pada ekspresi yang ingin dicari limitnya:

$\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{1-x}-1}$

Kita sudah tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 1$. Sekarang kita perlu menghitung limit $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1-x}-1}$.

Untuk menghitung $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1-x}-1}$, kita dapat menggunakan metode perkalian dengan sekawan dari penyebut:
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1-x}-1} \cdot \frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1-x}+1)}{(1-x)-1}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1-x}+1)}{-x}$

Kita bisa membatalkan faktor $x$ karena $x \neq 0$:
$= \lim_{x \to 0} -(\sqrt{1-x}+1)$

Sekarang substitusikan $x = 0$:
$= -(\sqrt{1-0}+1) = -(\sqrt{1}+1) = -(1+1) = -2$

Jadi, nilai dari $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}$ adalah hasil perkalian kedua limit tersebut:
$1 \cdot (-2) = -2$.

Jadi, nilai $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}$ adalah -2.