Jika n bilangan asli, buktikan pernyataan di bawah ini. a.

Terbukti benar menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

a. Bukti n! > 2^n untuk n >= 4 dengan induksi matematika:
   *   Basis Induksi: Untuk n=4, 4! = 24 dan 2^4 = 16. Jelas bahwa 24 > 16. Pernyataan benar untuk n=4.
   *   Langkah Induksi: Asumsikan pernyataan benar untuk n=k, yaitu k! > 2^k, untuk k >= 4. Kita perlu membuktikan pernyataan benar untuk n=k+1, yaitu (k+1)! > 2^(k+1).
     Dari asumsi, k! > 2^k. Kalikan kedua sisi dengan (k+1):
     (k+1) * k! > (k+1) * 2^k
     (k+1)! > (k+1) * 2^k
     Karena k >= 4, maka k+1 >= 5. Jadi, k+1 > 2.
     Maka, (k+1) * 2^k > 2 * 2^k = 2^(k+1).
     Sehingga, (k+1)! > 2^(k+1). Pernyataan terbukti benar untuk n=k+1.
   *   Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, n! > 2^n benar untuk semua bilangan bulat positif n >= 4.

b. Bukti 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√n > √n untuk n >= 2 dengan induksi matematika:
   *   Basis Induksi: Untuk n=2, 1/√1 + 1/√2 = 1 + 1/√2 ≈ 1 + 0.707 = 1.707. Dan √2 ≈ 1.414. Jelas bahwa 1.707 > 1.414. Pernyataan benar untuk n=2.
   *   Langkah Induksi: Asumsikan pernyataan benar untuk n=k, yaitu 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√k > √k, untuk k >= 2. Kita perlu membuktikan pernyataan benar untuk n=k+1, yaitu 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√k + 1/√(k+1) > √(k+1).
     Dari asumsi, 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√k > √k.
     Tambahkan 1/√(k+1) ke kedua sisi:
     1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√k + 1/√(k+1) > √k + 1/√(k+1).
     Kita perlu menunjukkan bahwa √k + 1/√(k+1) > √(k+1).
     √k + 1/√(k+1) - √(k+1) = (k + √k/√(k+1) - (k+1))/√(k+1)
     = (k + √(k(k+1)) - (k+1))/√(k+1)
     = (√(k(k+1)) - 1)/√(k+1).
     Karena k >= 2, maka k(k+1) >= 2*3 = 6. Jadi, √(k(k+1)) >= √6 > 1.
     Oleh karena itu, (√(k(k+1)) - 1)/√(k+1) > 0.
     Ini berarti √k + 1/√(k+1) > √(k+1).
     Sehingga, 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√k + 1/√(k+1) > √(k+1). Pernyataan terbukti benar untuk n=k+1.
   *   Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√n > √n benar untuk semua bilangan bulat positif n >= 2.