Jika persamaan garis singgung kurva y=ax^2-bx+3 pada titik

Nilai a^2+b^2 adalah 20.

Pembahasan

Diberikan kurva y = ax^2 - bx + 3. Garis singgung kurva pada titik (1,1).

Langkah 1: Gunakan informasi bahwa titik (1,1) terletak pada kurva.
Substitusikan x=1 dan y=1 ke dalam persamaan kurva:
1 = a(1)^2 - b(1) + 3
1 = a - b + 3
a - b = 1 - 3
a - b = -2  ..... (Persamaan 1)

Langkah 2: Cari gradien garis singgung.
Gradien garis singgung adalah turunan pertama dari fungsi y terhadap x, dievaluasi pada titik singgung.
Turunan y terhadap x (dy/dx) = d/dx (ax^2 - bx + 3) = 2ax - b.
Pada titik (1,1), gradien garis singgung (m_singgung) adalah:
m_singgung = 2a(1) - b = 2a - b.

Langkah 3: Gunakan informasi bahwa garis singgung tegak lurus dengan garis 6y - x + 7 = 0.
Ubah persamaan garis 6y - x + 7 = 0 ke bentuk y = mx + c untuk mencari gradiennya.
6y = x - 7
y = (1/6)x - 7/6
Gradien garis ini (m_garis) adalah 1/6.

Karena garis singgung tegak lurus dengan garis ini, hasil kali gradien keduanya adalah -1:
m_singgung * m_garis = -1
(2a - b) * (1/6) = -1
2a - b = -6 ..... (Persamaan 2)

Langkah 4: Selesaikan sistem persamaan linear untuk menemukan nilai a dan b.
Kita punya dua persamaan:
1) a - b = -2
2) 2a - b = -6

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(2a - b) - (a - b) = -6 - (-2)
2a - b - a + b = -6 + 2
a = -4

Substitusikan nilai a = -4 ke Persamaan 1:
-4 - b = -2
-b = -2 + 4
-b = 2
b = -2

Langkah 5: Hitung a^2 + b^2.
a^2 + b^2 = (-4)^2 + (-2)^2
           = 16 + 4
           = 20

Jadi, nilai a^2 + b^2 adalah 20.