Jika sin(x+30)=sinx, buktikan bahwa tanx=2+akar(3)

Terbukti $\tan x = 2 + \sqrt{3}$

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa $\tan x = 2 + \sqrt{3}$ jika $\sin(x+30^{\circ}) = \sin x$, kita akan menggunakan identitas trigonometri.

Diberikan persamaan: $\sin(x+30^{\circ}) = \sin x$

Gunakan identitas penjumlahan sinus: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.
Dalam kasus ini, $A = x$ dan $B = 30^{\circ}$.
Jadi, $\sin(x+30^{\circ}) = \sin x \cos 30^{\circ} + \cos x \sin 30^{\circ}$.

Kita tahu nilai $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan:
$\sin x \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \cos x \left(\frac{1}{2}\right) = \sin x$

$rac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \sin x$

Untuk mencari $\tan x$, kita perlu membagi seluruh persamaan dengan $\cos x$ (asumsikan $\cos x \neq 0$).
$rac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x}{\cos x} + \frac{\frac{1}{2} \cos x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x}$

$rac{\sqrt{3}}{2} \tan x + \frac{1}{2} = \tan x$

Sekarang, kita perlu mengumpulkan semua suku yang mengandung $\tan x$ di satu sisi:
$rac{1}{2} = \tan x - \frac{\sqrt{3}}{2} \tan x$

Faktorkan $\tan x$:
$rac{1}{2} = \tan x \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$rac{1}{2} = \tan x \left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}\right)$

Untuk mendapatkan $\tan x$, bagi kedua sisi dengan $\left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}\right)$:
$\tan x = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}$

$\tan x = \frac{1}{2} \times \frac{2}{2 - \sqrt{3}}$

$\tan x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$

Untuk menyederhanakan bentuk ini, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebut, yaitu $2 + \sqrt{3}$:
$\tan x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

$\tan x = \frac{1 \times (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$

Gunakan identitas $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ untuk penyebut:
$\tan x = rac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2}$

$\tan x = rac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3}$

$\tan x = rac{2 + \sqrt{3}}{1}$

$\tan x = 2 + \sqrt{3}$

Jadi, terbukti bahwa jika $\sin(x+30^{\circ}) = \sin x$, maka $\tan x = 2 + \sqrt{3}$.