Jika sin x-cos x=1/5, maka jumlah semua nilai tan x yang

25/12

Pembahasan

Diketahui sin x - cos x = 1/5.
Kuadratkan kedua sisi persamaan: (sin x - cos x)^2 = (1/5)^2
sin^2 x - 2 sin x cos x + cos^2 x = 1/25
Karena sin^2 x + cos^2 x = 1, maka:
1 - 2 sin x cos x = 1/25
2 sin x cos x = 1 - 1/25
2 sin x cos x = 24/25

Kita juga tahu bahwa tan x = sin x / cos x.
Untuk mencari jumlah semua nilai tan x, kita perlu mencari nilai sin x dan cos x.

Mari kita gunakan identitas: tan x = (sin x - cos x) / (cos x + sin x) ... ini tidak tepat.

Kita bisa menggunakan identitas lain. Misalkan t = tan x. Maka sin x = t / sqrt(1+t^2) dan cos x = 1 / sqrt(1+t^2) (dengan asumsi cos x > 0) atau sin x = -t / sqrt(1+t^2) dan cos x = -1 / sqrt(1+t^2) (dengan asumsi cos x < 0).

Cara yang lebih mudah adalah membagi sin x - cos x = 1/5 dengan cos x:
tan x - 1 = (1/5) sec x
(tan x - 1)^2 = (1/25) sec^2 x
(tan x - 1)^2 = (1/25) (1 + tan^2 x)
tan^2 x - 2 tan x + 1 = 1/25 + 1/25 tan^2 x

Kalikan dengan 25:
25 tan^2 x - 50 tan x + 25 = 1 + tan^2 x
24 tan^2 x - 50 tan x + 24 = 0
12 tan^2 x - 25 tan x + 12 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam tan x. Misalkan y = tan x, maka 12y^2 - 25y + 12 = 0.
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat ay^2 + by + c = 0 adalah -b/a.
Jadi, jumlah semua nilai tan x adalah -(-25)/12 = 25/12.