Jika sin x+sin 2x+sin 3x=0 untuk pi/2<x<pi, maka tan 2x=..

√3

Pembahasan

Soal ini adalah soal trigonometri yang membutuhkan penyelesaian persamaan.
Diketahui:
sin x + sin 2x + sin 3x = 0
untuk π/2 < x < π

Gunakan identitas: sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)
Gabungkan sin x dan sin 3x:
(sin 3x + sin x) + sin 2x = 0
2 sin((3x+x)/2) cos((3x-x)/2) + sin 2x = 0
2 sin(2x) cos(x) + sin 2x = 0
Keluarkan sin 2x:
sin 2x (2 cos x + 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan:
1. sin 2x = 0
2. 2 cos x + 1 = 0  => cos x = -1/2

Kita diberikan rentang π/2 < x < π. Di kuadran ini (Kuadran II):
- sin x positif
- cos x negatif
- tan x negatif

Mari kita analisis kedua kemungkinan:
1. sin 2x = 0
Jika sin 2x = 0, maka 2x = nπ, di mana n adalah bilangan bulat.
x = nπ/2
Untuk rentang π/2 < x < π:
Jika n=1, x = π/2 (tidak termasuk)
Jika n=2, x = π (tidak termasuk)
Jadi, sin 2x = 0 tidak memberikan solusi dalam rentang yang diberikan.

2. cos x = -1/2
Di kuadran II, nilai x yang memenuhi cos x = -1/2 adalah x = 2π/3.
Ini sesuai dengan rentang π/2 < x < π.

Sekarang kita perlu mencari tan 2x.
Jika x = 2π/3, maka 2x = 4π/3.

Nilai tan(4π/3) berada di kuadran III, di mana tangen positif.
Tan(4π/3) = tan(π + π/3) = tan(π/3) = √3

Jadi, tan 2x = √3.