Diketahui integral 1 10 f(x) dx=12 dan integral -4 -2 f(x)

-2

Pembahasan

Karena f(x + 3) = f(x), maka fungsi f(x) memiliki periodisitas sebesar 3. Oleh karena itu, kita dapat menyesuaikan batas integral:

Integral dari 16 sampai 5 f(x) dx = Integral dari (5+3*k) sampai (16+3*k) f(x) dx, di mana k adalah bilangan bulat.

Kita bisa menulis ulang integral 16 5 f(x) dx sebagai berikut:
Integral dari 16 sampai 5 f(x) dx = - Integral dari 5 sampai 16 f(x) dx

Karena periodisitasnya adalah 3, kita bisa menggeser batas integral:
Integral dari 5 sampai 16 f(x) dx = Integral dari (5+3) sampai (16+3) f(x) dx = Integral dari 8 sampai 19 f(x) dx

Kita dapat memecah integral tersebut:
Integral dari 5 sampai 16 f(x) dx = Integral dari 5 sampai 8 f(x) dx + Integral dari 8 sampai 11 f(x) dx + Integral dari 11 sampai 14 f(x) dx + Integral dari 14 sampai 16 f(x) dx

Menggunakan sifat periodisitas:
Integral dari 8 sampai 11 f(x) dx = Integral dari 5 sampai 8 f(x) dx
Integral dari 11 sampai 14 f(x) dx = Integral dari 8 sampai 11 f(x) dx = Integral dari 5 sampai 8 f(x) dx

Jadi, Integral dari 5 sampai 16 f(x) dx = 3 * Integral dari 5 sampai 8 f(x) dx + Integral dari 14 sampai 16 f(x) dx

Ini tidak secara langsung menggunakan informasi yang diberikan (Integral 1 10 f(x) dx=12 dan Integral -4 -2 f(x) dx=-10).

Mari kita coba pendekatan lain dengan menyesuaikan batas integral ke interval yang diketahui:
Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx

Kita tahu bahwa f(x) memiliki periode 3. Maka:
Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx

Karena periodisitas f(x) adalah 3:
Integral 8 11 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx
Integral 11 14 f(x) dx = Integral 8 11 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx

Jadi, Integral 5 16 f(x) dx = 3 * Integral 5 8 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx

Perhatikan bahwa Integral 1 10 f(x) dx = Integral 1 4 f(x) dx + Integral 4 7 f(x) dx + Integral 7 10 f(x) dx.
Karena periodisitasnya 3, maka Integral 1 4 f(x) dx = Integral 4 7 f(x) dx = Integral 7 10 f(x) dx.
Jadi, 3 * Integral 1 4 f(x) dx = 12, yang berarti Integral 1 4 f(x) dx = 4.

Ini juga tidak membantu secara langsung.

Mari kita gunakan sifat pergeseran:
Integral 16 5 f(x) dx = Integral (16-3) (5-3) f(x) dx = Integral 13 2 f(x) dx
Integral 13 2 f(x) dx = Integral 13 5 f(x) dx + Integral 5 2 f(x) dx

Ini juga tidak membantu.

Kita dapat menulis ulang batas integral:
Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx

Karena f(x) periodik dengan periode 3, maka:
Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx
= Integral 5 8 f(x) dx + Integral 5 8 f(x) dx + Integral 5 8 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx
= 3 * Integral 5 8 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx

Perhatikan Integral 1 10 f(x) dx = 12. Interval ini memiliki panjang 9, yang merupakan 3 kali periode. Jadi, Integral 1 10 f(x) dx = 3 * Integral 1 4 f(x) dx = 12. Ini berarti Integral 1 4 f(x) dx = 4.

Sekarang perhatikan Integral 16 5 f(x) dx.
Kita bisa menggeser batasnya dengan kelipatan 3.
Integral 16 5 f(x) dx = Integral (16-3) (5-3) f(x) dx = Integral 13 2 f(x) dx
Integral 13 2 f(x) dx = Integral 13 5 f(x) dx + Integral 5 2 f(x) dx

Atau, kita bisa menulis:
Integral 16 5 f(x) dx = Integral 16 13 f(x) dx + Integral 13 10 f(x) dx + Integral 10 7 f(x) dx + Integral 7 5 f(x) dx

Dengan menggunakan periodisitas:
Integral 16 13 f(x) dx = Integral 13 10 f(x) dx = Integral 10 7 f(x) dx = Integral 7 4 f(x) dx
Integral 7 5 f(x) dx = Integral 4 2 f(x) dx

Kita tahu Integral 1 10 f(x) dx = 12. Ini berarti Integral 1 4 f(x) dx + Integral 4 7 f(x) dx + Integral 7 10 f(x) dx = 12.
Karena periodisitasnya 3, maka Integral 1 4 f(x) dx = Integral 4 7 f(x) dx = Integral 7 10 f(x) dx = 4.

Sekarang kita perlu mencari nilai Integral 16 5 f(x) dx.
Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx

Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx

Karena f(x) periodik dengan periode 3:
Integral 5 8 f(x) dx = Integral 2 5 f(x) dx = Integral -1 2 f(x) dx
Integral 8 11 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx
Integral 11 14 f(x) dx = Integral 8 11 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx

Kita perlu menghubungkan ini dengan integral yang diberikan.
Integral 1 10 f(x) dx = 12.
Ini mencakup 3 periode penuh.
Integral 1 10 f(x) dx = Integral 1 4 f(x) dx + Integral 4 7 f(x) dx + Integral 7 10 f(x) dx = 12.
Karena periodisitas, Integral 1 4 f(x) dx = Integral 4 7 f(x) dx = Integral 7 10 f(x) dx = 4.

Sekarang, perhatikan Integral 16 5 f(x) dx.
Kita bisa menulis ulang batasnya:
Integral 16 5 f(x) dx = Integral 16 13 f(x) dx + Integral 13 10 f(x) dx + Integral 10 7 f(x) dx + Integral 7 4 f(x) dx + Integral 4 1 f(x) dx + Integral 1 f(x) dx

Ini tidak benar.

Mari kita gunakan sifat pergeseran batas:
Integral 16 5 f(x) dx = Integral (16-3) (5-3) f(x) dx = Integral 13 2 f(x) dx
Integral 13 2 f(x) dx = Integral 13 10 f(x) dx + Integral 10 7 f(x) dx + Integral 7 4 f(x) dx + Integral 4 2 f(x) dx

Karena periodisitas:
Integral 13 10 f(x) dx = Integral 10 7 f(x) dx = Integral 7 4 f(x) dx = Integral 4 1 f(x) dx.
Dan Integral 1 4 f(x) dx = 4.
Jadi, Integral 13 10 f(x) dx = Integral 10 7 f(x) dx = Integral 7 4 f(x) dx = 4.

Integral 16 5 f(x) dx = Integral 13 2 f(x) dx
Integral 13 2 f(x) dx = Integral 13 10 f(x) dx + Integral 10 7 f(x) dx + Integral 7 4 f(x) dx + Integral 4 2 f(x) dx

Kita tahu Integral 1 10 f(x) dx = 12. Ini berarti bahwa integral pada setiap interval panjang 3 adalah 4 (12 dibagi 3 periode).
Jadi, Integral 1 4 f(x) dx = 4, Integral 4 7 f(x) dx = 4, Integral 7 10 f(x) dx = 4.

Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx

Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx

Karena periodisitas:
Integral 5 8 f(x) dx = Integral 2 5 f(x) dx = Integral -1 2 f(x) dx
Integral 8 11 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx
Integral 11 14 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx

Kita perlu mencari nilai dari Integral 5 8 f(x) dx.
Kita tahu Integral 1 10 f(x) dx = 12. Interval ini mencakup 3 periode.
Integral 1 10 f(x) dx = Integral 1 4 f(x) dx + Integral 4 7 f(x) dx + Integral 7 10 f(x) dx = 12.
Karena periodisitas, Integral 1 4 f(x) dx = Integral 4 7 f(x) dx = Integral 7 10 f(x) dx = 4.

Sekarang perhatikan integral yang diminta: Integral 16 5 f(x) dx.
Kita dapat menggeser batas integral sebesar -3 (atau kelipatan 3).
Integral 16 5 f(x) dx = Integral (16-3) (5-3) f(x) dx = Integral 13 2 f(x) dx.
Integral 13 2 f(x) dx = Integral 13 10 f(x) dx + Integral 10 7 f(x) dx + Integral 7 4 f(x) dx + Integral 4 2 f(x) dx.

Karena periodisitas 3:
Integral 13 10 f(x) dx = Integral 10 7 f(x) dx = Integral 7 4 f(x) dx = Integral 4 1 f(x) dx.
Dan Integral 1 4 f(x) dx = 4.
Jadi, Integral 13 10 f(x) dx = Integral 10 7 f(x) dx = Integral 7 4 f(x) dx = 4.

Maka, Integral 13 2 f(x) dx = 4 + 4 + 4 + Integral 4 2 f(x) dx = 12 + Integral 4 2 f(x) dx.

Perhatikan Integral -4 -2 f(x) dx = -10. Interval ini memiliki panjang 2.
Kita perlu mencari Integral 4 2 f(x) dx. Ini juga memiliki panjang 2.
Karena f(x) periodik dengan periode 3, maka Integral 4 2 f(x) dx = Integral (4-3) (2-3) f(x) dx = Integral 1 -1 f(x) dx.
Integral 1 -1 f(x) dx = Integral 1 0 f(x) dx + Integral 0 -1 f(x) dx.

Ini masih belum terhubung.

Mari kita lihat kembali soalnya.
Integral 1 10 f(x) dx = 12. Interval panjang 9.
Karena f(x+3) = f(x), periode = 3.
Integral 1 10 f(x) dx = Integral 1 4 f(x) dx + Integral 4 7 f(x) dx + Integral 7 10 f(x) dx = 12.
Karena periodisitas, Integral 1 4 f(x) dx = Integral 4 7 f(x) dx = Integral 7 10 f(x) dx = 4.

Kita ingin mencari Integral 16 5 f(x) dx.
Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx.

Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx.

Karena periodisitas:
Integral 5 8 f(x) dx = Integral 2 5 f(x) dx = Integral -1 2 f(x) dx.
Integral 8 11 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx.
Integral 11 14 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx.

Jadi, Integral 5 16 f(x) dx = 3 * Integral 5 8 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx.

Kita juga tahu Integral -4 -2 f(x) dx = -10. Ini adalah integral pada interval panjang 2.
Karena periodisitas, Integral -4 -2 f(x) dx = Integral (-4+3) (-2+3) f(x) dx = Integral -1 1 f(x) dx = -10.
Integral -1 1 f(x) dx = Integral -1 0 f(x) dx + Integral 0 1 f(x) dx = -10.

Perhatikan Integral 5 8 f(x) dx. Ini adalah integral pada interval panjang 3. Karena periodisitas, nilai integral pada setiap interval panjang 3 adalah sama.
Integral 1 4 f(x) dx = 4.
Integral 5 8 f(x) dx = Integral (5-3) (8-3) f(x) dx = Integral 2 5 f(x) dx.
Integral 2 5 f(x) dx = Integral 2 4 f(x) dx + Integral 4 5 f(x) dx.

Ini menjadi rumit. Mari kita gunakan fakta bahwa integral pada setiap periode adalah sama.
Karena Integral 1 10 f(x) dx = 12 dan panjang interval adalah 9 (3 periode), maka integral pada satu periode adalah 12 / 3 = 4.
Integral_periode f(x) dx = 4.

Kita ingin mencari Integral 16 5 f(x) dx.
Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx.

Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx.

Integral 5 8 f(x) dx adalah integral pada satu periode, jadi nilainya adalah 4.
Integral 8 11 f(x) dx juga integral pada satu periode, nilainya 4.
Integral 11 14 f(x) dx juga integral pada satu periode, nilainya 4.

Jadi, Integral 5 14 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx = 4 + 4 + 4 = 12.

Sekarang kita perlu Integral 14 16 f(x) dx.
Integral 14 16 f(x) dx = Integral (14-3) (16-3) f(x) dx = Integral 11 13 f(x) dx.
Integral 11 13 f(x) dx = Integral 11 14 f(x) dx - Integral 13 14 f(x) dx = 4 - Integral 13 14 f(x) dx.

Ini juga tidak membantu.

Mari kita perhatikan Integral -4 -2 f(x) dx = -10. Interval panjang 2.
Karena periodisitas 3, Integral -4 -2 f(x) dx = Integral (-4+3) (-2+3) f(x) dx = Integral -1 1 f(x) dx = -10.

Kita ingin mencari Integral 16 5 f(x) dx.
Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx.

Integral 5 16 f(x) dx.
Kita dapat menulis ulang batasnya agar sesuai dengan periode 3:
Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx.
Karena periodisitas, Integral 5 8 f(x) dx = Integral 8 11 f(x) dx = Integral 11 14 f(x) dx = 4 (integral pada satu periode).

Integral 5 16 f(x) dx = 4 + 4 + 4 + Integral 14 16 f(x) dx = 12 + Integral 14 16 f(x) dx.

Integral 14 16 f(x) dx memiliki panjang 2. Karena periodisitas, ini sama dengan integral pada interval panjang 2 lainnya.
Integral 14 16 f(x) dx = Integral (14-3) (16-3) f(x) dx = Integral 11 13 f(x) dx.
Integral 11 13 f(x) dx = Integral (11-3) (13-3) f(x) dx = Integral 8 10 f(x) dx.
Integral 8 10 f(x) dx = Integral 8 11 f(x) dx - Integral 10 11 f(x) dx = 4 - Integral 10 11 f(x) dx.

Kita tahu Integral -4 -2 f(x) dx = -10. Interval panjang 2.
Karena periodisitas, Integral -4 -2 f(x) dx = Integral (-1) 1 f(x) dx = -10.
Integral -1 1 f(x) dx = Integral -1 0 f(x) dx + Integral 0 1 f(x) dx = -10.

Perhatikan Integral 14 16 f(x) dx. Ini adalah integral pada interval panjang 2.
Karena f(x) periodik, Integral 14 16 f(x) dx = Integral (14 mod 3) (16 mod 3) f(x) dx.
14 mod 3 = 2.
16 mod 3 = 1.
Ini tidak benar.

Mari kita gunakan pergeseran:
Integral 14 16 f(x) dx = Integral (14-12) (16-12) f(x) dx = Integral 2 4 f(x) dx.
Integral 2 4 f(x) dx = Integral 2 5 f(x) dx - Integral 4 5 f(x) dx.

Kita punya Integral -1 1 f(x) dx = -10.
Integral 2 4 f(x) dx = Integral (2-3) (4-3) f(x) dx = Integral -1 1 f(x) dx = -10.

Jadi, Integral 14 16 f(x) dx = -10.

Integral 5 16 f(x) dx = 12 + Integral 14 16 f(x) dx = 12 + (-10) = 2.

Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx = -2.

Mari kita periksa kembali.
Integral 1 10 f(x) dx = 12. Periode 3. Integral per periode = 4.
Integral -4 -2 f(x) dx = -10. Periode 3.
Integral -4 -2 f(x) dx = Integral -1 1 f(x) dx = -10.

Kita cari Integral 16 5 f(x) dx.
Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx.

Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx.
Integral 5 8 f(x) dx = Integral 8 11 f(x) dx = Integral 11 14 f(x) dx = 4.

Integral 14 16 f(x) dx = Integral (14-3k) (16-3k) f(x) dx.
Ambil k=4: Integral (14-12) (16-12) f(x) dx = Integral 2 4 f(x) dx.
Integral 2 4 f(x) dx = Integral 2 5 f(x) dx - Integral 4 5 f(x) dx.

Kita punya Integral -1 1 f(x) dx = -10.
Integral 2 4 f(x) dx = Integral (2-3) (4-3) f(x) dx = Integral -1 1 f(x) dx = -10.

Jadi, Integral 14 16 f(x) dx = -10.

Integral 5 16 f(x) dx = 4 + 4 + 4 + (-10) = 12 - 10 = 2.

Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx = -2.

Jawaban ini konsisten.