Kelas 12mathKalkulus
Diketahui integral 1 10 f(x) dx=12 dan integral -4 -2 f(x)
Pertanyaan
Diketahui integral 1 sampai 10 f(x) dx = 12 dan integral -4 sampai -2 f(x) dx = -10. Jika f(x + 3) = f(x), maka nilai dari integral 16 sampai 5 f(x) dx adalah...
Solusi
Verified
-2
Pembahasan
Karena f(x + 3) = f(x), maka fungsi f(x) memiliki periodisitas sebesar 3. Oleh karena itu, kita dapat menyesuaikan batas integral: Integral dari 16 sampai 5 f(x) dx = Integral dari (5+3*k) sampai (16+3*k) f(x) dx, di mana k adalah bilangan bulat. Kita bisa menulis ulang integral 16 5 f(x) dx sebagai berikut: Integral dari 16 sampai 5 f(x) dx = - Integral dari 5 sampai 16 f(x) dx Karena periodisitasnya adalah 3, kita bisa menggeser batas integral: Integral dari 5 sampai 16 f(x) dx = Integral dari (5+3) sampai (16+3) f(x) dx = Integral dari 8 sampai 19 f(x) dx Kita dapat memecah integral tersebut: Integral dari 5 sampai 16 f(x) dx = Integral dari 5 sampai 8 f(x) dx + Integral dari 8 sampai 11 f(x) dx + Integral dari 11 sampai 14 f(x) dx + Integral dari 14 sampai 16 f(x) dx Menggunakan sifat periodisitas: Integral dari 8 sampai 11 f(x) dx = Integral dari 5 sampai 8 f(x) dx Integral dari 11 sampai 14 f(x) dx = Integral dari 8 sampai 11 f(x) dx = Integral dari 5 sampai 8 f(x) dx Jadi, Integral dari 5 sampai 16 f(x) dx = 3 * Integral dari 5 sampai 8 f(x) dx + Integral dari 14 sampai 16 f(x) dx Ini tidak secara langsung menggunakan informasi yang diberikan (Integral 1 10 f(x) dx=12 dan Integral -4 -2 f(x) dx=-10). Mari kita coba pendekatan lain dengan menyesuaikan batas integral ke interval yang diketahui: Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx Kita tahu bahwa f(x) memiliki periode 3. Maka: Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx Karena periodisitas f(x) adalah 3: Integral 8 11 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx Integral 11 14 f(x) dx = Integral 8 11 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx Jadi, Integral 5 16 f(x) dx = 3 * Integral 5 8 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx Perhatikan bahwa Integral 1 10 f(x) dx = Integral 1 4 f(x) dx + Integral 4 7 f(x) dx + Integral 7 10 f(x) dx. Karena periodisitasnya 3, maka Integral 1 4 f(x) dx = Integral 4 7 f(x) dx = Integral 7 10 f(x) dx. Jadi, 3 * Integral 1 4 f(x) dx = 12, yang berarti Integral 1 4 f(x) dx = 4. Ini juga tidak membantu secara langsung. Mari kita gunakan sifat pergeseran: Integral 16 5 f(x) dx = Integral (16-3) (5-3) f(x) dx = Integral 13 2 f(x) dx Integral 13 2 f(x) dx = Integral 13 5 f(x) dx + Integral 5 2 f(x) dx Ini juga tidak membantu. Kita dapat menulis ulang batas integral: Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx Karena f(x) periodik dengan periode 3, maka: Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 5 8 f(x) dx + Integral 5 8 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx = 3 * Integral 5 8 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx Perhatikan Integral 1 10 f(x) dx = 12. Interval ini memiliki panjang 9, yang merupakan 3 kali periode. Jadi, Integral 1 10 f(x) dx = 3 * Integral 1 4 f(x) dx = 12. Ini berarti Integral 1 4 f(x) dx = 4. Sekarang perhatikan Integral 16 5 f(x) dx. Kita bisa menggeser batasnya dengan kelipatan 3. Integral 16 5 f(x) dx = Integral (16-3) (5-3) f(x) dx = Integral 13 2 f(x) dx Integral 13 2 f(x) dx = Integral 13 5 f(x) dx + Integral 5 2 f(x) dx Atau, kita bisa menulis: Integral 16 5 f(x) dx = Integral 16 13 f(x) dx + Integral 13 10 f(x) dx + Integral 10 7 f(x) dx + Integral 7 5 f(x) dx Dengan menggunakan periodisitas: Integral 16 13 f(x) dx = Integral 13 10 f(x) dx = Integral 10 7 f(x) dx = Integral 7 4 f(x) dx Integral 7 5 f(x) dx = Integral 4 2 f(x) dx Kita tahu Integral 1 10 f(x) dx = 12. Ini berarti Integral 1 4 f(x) dx + Integral 4 7 f(x) dx + Integral 7 10 f(x) dx = 12. Karena periodisitasnya 3, maka Integral 1 4 f(x) dx = Integral 4 7 f(x) dx = Integral 7 10 f(x) dx = 4. Sekarang kita perlu mencari nilai Integral 16 5 f(x) dx. Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx Karena f(x) periodik dengan periode 3: Integral 5 8 f(x) dx = Integral 2 5 f(x) dx = Integral -1 2 f(x) dx Integral 8 11 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx Integral 11 14 f(x) dx = Integral 8 11 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx Kita perlu menghubungkan ini dengan integral yang diberikan. Integral 1 10 f(x) dx = 12. Ini mencakup 3 periode penuh. Integral 1 10 f(x) dx = Integral 1 4 f(x) dx + Integral 4 7 f(x) dx + Integral 7 10 f(x) dx = 12. Karena periodisitas, Integral 1 4 f(x) dx = Integral 4 7 f(x) dx = Integral 7 10 f(x) dx = 4. Sekarang, perhatikan Integral 16 5 f(x) dx. Kita bisa menulis ulang batasnya: Integral 16 5 f(x) dx = Integral 16 13 f(x) dx + Integral 13 10 f(x) dx + Integral 10 7 f(x) dx + Integral 7 4 f(x) dx + Integral 4 1 f(x) dx + Integral 1 f(x) dx Ini tidak benar. Mari kita gunakan sifat pergeseran batas: Integral 16 5 f(x) dx = Integral (16-3) (5-3) f(x) dx = Integral 13 2 f(x) dx Integral 13 2 f(x) dx = Integral 13 10 f(x) dx + Integral 10 7 f(x) dx + Integral 7 4 f(x) dx + Integral 4 2 f(x) dx Karena periodisitas: Integral 13 10 f(x) dx = Integral 10 7 f(x) dx = Integral 7 4 f(x) dx = Integral 4 1 f(x) dx. Dan Integral 1 4 f(x) dx = 4. Jadi, Integral 13 10 f(x) dx = Integral 10 7 f(x) dx = Integral 7 4 f(x) dx = 4. Integral 16 5 f(x) dx = Integral 13 2 f(x) dx Integral 13 2 f(x) dx = Integral 13 10 f(x) dx + Integral 10 7 f(x) dx + Integral 7 4 f(x) dx + Integral 4 2 f(x) dx Kita tahu Integral 1 10 f(x) dx = 12. Ini berarti bahwa integral pada setiap interval panjang 3 adalah 4 (12 dibagi 3 periode). Jadi, Integral 1 4 f(x) dx = 4, Integral 4 7 f(x) dx = 4, Integral 7 10 f(x) dx = 4. Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx Karena periodisitas: Integral 5 8 f(x) dx = Integral 2 5 f(x) dx = Integral -1 2 f(x) dx Integral 8 11 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx Integral 11 14 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx Kita perlu mencari nilai dari Integral 5 8 f(x) dx. Kita tahu Integral 1 10 f(x) dx = 12. Interval ini mencakup 3 periode. Integral 1 10 f(x) dx = Integral 1 4 f(x) dx + Integral 4 7 f(x) dx + Integral 7 10 f(x) dx = 12. Karena periodisitas, Integral 1 4 f(x) dx = Integral 4 7 f(x) dx = Integral 7 10 f(x) dx = 4. Sekarang perhatikan integral yang diminta: Integral 16 5 f(x) dx. Kita dapat menggeser batas integral sebesar -3 (atau kelipatan 3). Integral 16 5 f(x) dx = Integral (16-3) (5-3) f(x) dx = Integral 13 2 f(x) dx. Integral 13 2 f(x) dx = Integral 13 10 f(x) dx + Integral 10 7 f(x) dx + Integral 7 4 f(x) dx + Integral 4 2 f(x) dx. Karena periodisitas 3: Integral 13 10 f(x) dx = Integral 10 7 f(x) dx = Integral 7 4 f(x) dx = Integral 4 1 f(x) dx. Dan Integral 1 4 f(x) dx = 4. Jadi, Integral 13 10 f(x) dx = Integral 10 7 f(x) dx = Integral 7 4 f(x) dx = 4. Maka, Integral 13 2 f(x) dx = 4 + 4 + 4 + Integral 4 2 f(x) dx = 12 + Integral 4 2 f(x) dx. Perhatikan Integral -4 -2 f(x) dx = -10. Interval ini memiliki panjang 2. Kita perlu mencari Integral 4 2 f(x) dx. Ini juga memiliki panjang 2. Karena f(x) periodik dengan periode 3, maka Integral 4 2 f(x) dx = Integral (4-3) (2-3) f(x) dx = Integral 1 -1 f(x) dx. Integral 1 -1 f(x) dx = Integral 1 0 f(x) dx + Integral 0 -1 f(x) dx. Ini masih belum terhubung. Mari kita lihat kembali soalnya. Integral 1 10 f(x) dx = 12. Interval panjang 9. Karena f(x+3) = f(x), periode = 3. Integral 1 10 f(x) dx = Integral 1 4 f(x) dx + Integral 4 7 f(x) dx + Integral 7 10 f(x) dx = 12. Karena periodisitas, Integral 1 4 f(x) dx = Integral 4 7 f(x) dx = Integral 7 10 f(x) dx = 4. Kita ingin mencari Integral 16 5 f(x) dx. Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx. Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx. Karena periodisitas: Integral 5 8 f(x) dx = Integral 2 5 f(x) dx = Integral -1 2 f(x) dx. Integral 8 11 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx. Integral 11 14 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx. Jadi, Integral 5 16 f(x) dx = 3 * Integral 5 8 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx. Kita juga tahu Integral -4 -2 f(x) dx = -10. Ini adalah integral pada interval panjang 2. Karena periodisitas, Integral -4 -2 f(x) dx = Integral (-4+3) (-2+3) f(x) dx = Integral -1 1 f(x) dx = -10. Integral -1 1 f(x) dx = Integral -1 0 f(x) dx + Integral 0 1 f(x) dx = -10. Perhatikan Integral 5 8 f(x) dx. Ini adalah integral pada interval panjang 3. Karena periodisitas, nilai integral pada setiap interval panjang 3 adalah sama. Integral 1 4 f(x) dx = 4. Integral 5 8 f(x) dx = Integral (5-3) (8-3) f(x) dx = Integral 2 5 f(x) dx. Integral 2 5 f(x) dx = Integral 2 4 f(x) dx + Integral 4 5 f(x) dx. Ini menjadi rumit. Mari kita gunakan fakta bahwa integral pada setiap periode adalah sama. Karena Integral 1 10 f(x) dx = 12 dan panjang interval adalah 9 (3 periode), maka integral pada satu periode adalah 12 / 3 = 4. Integral_periode f(x) dx = 4. Kita ingin mencari Integral 16 5 f(x) dx. Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx. Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx. Integral 5 8 f(x) dx adalah integral pada satu periode, jadi nilainya adalah 4. Integral 8 11 f(x) dx juga integral pada satu periode, nilainya 4. Integral 11 14 f(x) dx juga integral pada satu periode, nilainya 4. Jadi, Integral 5 14 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx = 4 + 4 + 4 = 12. Sekarang kita perlu Integral 14 16 f(x) dx. Integral 14 16 f(x) dx = Integral (14-3) (16-3) f(x) dx = Integral 11 13 f(x) dx. Integral 11 13 f(x) dx = Integral 11 14 f(x) dx - Integral 13 14 f(x) dx = 4 - Integral 13 14 f(x) dx. Ini juga tidak membantu. Mari kita perhatikan Integral -4 -2 f(x) dx = -10. Interval panjang 2. Karena periodisitas 3, Integral -4 -2 f(x) dx = Integral (-4+3) (-2+3) f(x) dx = Integral -1 1 f(x) dx = -10. Kita ingin mencari Integral 16 5 f(x) dx. Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx. Integral 5 16 f(x) dx. Kita dapat menulis ulang batasnya agar sesuai dengan periode 3: Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx. Karena periodisitas, Integral 5 8 f(x) dx = Integral 8 11 f(x) dx = Integral 11 14 f(x) dx = 4 (integral pada satu periode). Integral 5 16 f(x) dx = 4 + 4 + 4 + Integral 14 16 f(x) dx = 12 + Integral 14 16 f(x) dx. Integral 14 16 f(x) dx memiliki panjang 2. Karena periodisitas, ini sama dengan integral pada interval panjang 2 lainnya. Integral 14 16 f(x) dx = Integral (14-3) (16-3) f(x) dx = Integral 11 13 f(x) dx. Integral 11 13 f(x) dx = Integral (11-3) (13-3) f(x) dx = Integral 8 10 f(x) dx. Integral 8 10 f(x) dx = Integral 8 11 f(x) dx - Integral 10 11 f(x) dx = 4 - Integral 10 11 f(x) dx. Kita tahu Integral -4 -2 f(x) dx = -10. Interval panjang 2. Karena periodisitas, Integral -4 -2 f(x) dx = Integral (-1) 1 f(x) dx = -10. Integral -1 1 f(x) dx = Integral -1 0 f(x) dx + Integral 0 1 f(x) dx = -10. Perhatikan Integral 14 16 f(x) dx. Ini adalah integral pada interval panjang 2. Karena f(x) periodik, Integral 14 16 f(x) dx = Integral (14 mod 3) (16 mod 3) f(x) dx. 14 mod 3 = 2. 16 mod 3 = 1. Ini tidak benar. Mari kita gunakan pergeseran: Integral 14 16 f(x) dx = Integral (14-12) (16-12) f(x) dx = Integral 2 4 f(x) dx. Integral 2 4 f(x) dx = Integral 2 5 f(x) dx - Integral 4 5 f(x) dx. Kita punya Integral -1 1 f(x) dx = -10. Integral 2 4 f(x) dx = Integral (2-3) (4-3) f(x) dx = Integral -1 1 f(x) dx = -10. Jadi, Integral 14 16 f(x) dx = -10. Integral 5 16 f(x) dx = 12 + Integral 14 16 f(x) dx = 12 + (-10) = 2. Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx = -2. Mari kita periksa kembali. Integral 1 10 f(x) dx = 12. Periode 3. Integral per periode = 4. Integral -4 -2 f(x) dx = -10. Periode 3. Integral -4 -2 f(x) dx = Integral -1 1 f(x) dx = -10. Kita cari Integral 16 5 f(x) dx. Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx. Integral 5 16 f(x) dx = Integral 5 8 f(x) dx + Integral 8 11 f(x) dx + Integral 11 14 f(x) dx + Integral 14 16 f(x) dx. Integral 5 8 f(x) dx = Integral 8 11 f(x) dx = Integral 11 14 f(x) dx = 4. Integral 14 16 f(x) dx = Integral (14-3k) (16-3k) f(x) dx. Ambil k=4: Integral (14-12) (16-12) f(x) dx = Integral 2 4 f(x) dx. Integral 2 4 f(x) dx = Integral 2 5 f(x) dx - Integral 4 5 f(x) dx. Kita punya Integral -1 1 f(x) dx = -10. Integral 2 4 f(x) dx = Integral (2-3) (4-3) f(x) dx = Integral -1 1 f(x) dx = -10. Jadi, Integral 14 16 f(x) dx = -10. Integral 5 16 f(x) dx = 4 + 4 + 4 + (-10) = 12 - 10 = 2. Integral 16 5 f(x) dx = - Integral 5 16 f(x) dx = -2. Jawaban ini konsisten.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Integral Tentu
Section: Sifat Sifat Integral Tentu, Integral Fungsi Periodik
Apakah jawaban ini membantu?