Jika suku banyak P(x) dibagi oleh (x-1) dan (x^2 + 3),

2x + 3

Pembahasan

Soal ini adalah tentang sisa pembagian suku banyak.\n\nDiketahui suku banyak P(x).\nKetika P(x) dibagi (x-1), sisanya adalah 5. Berdasarkan Teorema Sisa, ini berarti P(1) = 5.\nKetika P(x) dibagi (x^2 + 3), sisanya adalah (2x+3). Ini berarti P(x) = Q(x)(x^2 + 3) + (2x+3), di mana Q(x) adalah hasil bagi.\n\nKita ingin mencari sisa jika P(x) dibagi oleh (x-1)(x^2 + 3). Karena pembaginya berderajat 3 (derajat x = 1, derajat x^2+3 = 2, maka 1+2=3), maka sisanya akan berderajat paling tinggi 2. Misalkan sisa tersebut adalah Ax^2 + Bx + C.\n\nP(x) = K(x)(x-1)(x^2 + 3) + (Ax^2 + Bx + C), di mana K(x) adalah hasil bagi.\n\nDari informasi P(1) = 5:\nP(1) = K(1)(1-1)(1^2 + 3) + (A(1)^2 + B(1) + C)\n5 = K(1)(0)(4) + (A + B + C)\n5 = A + B + C  ...(1)\n\nDari informasi P(x) dibagi (x^2 + 3) bersisa (2x+3):\nP(x) = Q(x)(x^2 + 3) + (2x+3)\nJika kita substitusikan x = 1 ke dalam persamaan ini, kita tidak akan mendapatkan informasi yang cukup karena (x-1) tidak terlibat.\nNamun, kita bisa melihat bahwa ketika P(x) dibagi (x^2+3), kita mendapatkan sisa 2x+3. \nMari kita kembali ke bentuk:\nP(x) = K(x)(x-1)(x^2 + 3) + (Ax^2 + Bx + C)\nJika kita membagi P(x) dengan (x^2+3), kita bisa mengelompokkan suku-sukunya:\nP(x) = K(x)(x-1)(x^2+3) + A(x^2+3) - 3A + Bx + C\nP(x) = [K(x)(x-1) + A](x^2+3) + Bx + (C - 3A)\n\nSisa pembagian P(x) oleh (x^2+3) adalah Bx + (C - 3A).\nKita tahu bahwa sisa ini adalah (2x+3).\nSehingga, kita dapat menyamakan koefisiennya:\nKoefisien x: B = 2\nKonstanta: C - 3A = 3  ...(2)\n\nSekarang kita punya sistem persamaan:\n1. A + B + C = 5\n2. B = 2\n3. C - 3A = 3\n\nSubstitusikan B=2 ke persamaan (1):\nA + 2 + C = 5\nA + C = 3  ...(4)\n\nSekarang kita punya sistem persamaan dari (3) dan (4):\nC - 3A = 3\nC + A = 3\n\nKurangkan persamaan (4) dari persamaan (3):\n(C - 3A) - (C + A) = 3 - 3\n-4A = 0\nA = 0\n\nSubstitusikan A = 0 ke persamaan (4):\n0 + C = 3\nC = 3\n\nJadi, sisa pembagian P(x) oleh (x-1)(x^2 + 3) adalah Ax^2 + Bx + C = 0x^2 + 2x + 3 = 2x + 3.