Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

1 < x < 2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan log(x-1)^2 < log(x-1), kita perlu memperhatikan beberapa hal:

1. Syarat numerus (argumen logaritma) harus positif:
   - (x-1)^2 > 0. Ini berlaku untuk semua x kecuali x = 1.
   - x-1 > 0. Ini berarti x > 1.
   Jadi, syarat gabungan agar kedua logaritma terdefinisi adalah x > 1.

2. Sifat Logaritma:
   Kita bisa menggunakan sifat logaritma: jika log a < log b, maka a < b (dengan basis logaritma > 1).
   Dalam kasus ini, basis logaritma tidak disebutkan, kita asumsikan basisnya lebih dari 1 (misalnya basis 10 atau e).

   log(x-1)^2 < log(x-1)
   Karena basisnya sama dan lebih dari 1, kita bisa menyamakan numerusnya:
   (x-1)^2 < x-1

3. Menyelesaikan Pertidaksamaan Aljabar:
   Pindahkan semua suku ke satu sisi:
   (x-1)^2 - (x-1) < 0
   Faktorkan (x-1):
   (x-1) [ (x-1) - 1 ] < 0
   (x-1) (x-2) < 0

4. Menentukan Interval:
   Akar-akar dari persamaan (x-1)(x-2) = 0 adalah x = 1 dan x = 2.
   Kita perlu mencari di mana hasil perkalian (x-1)(x-2) negatif.
   Gunakan garis bilangan:
   - Untuk x < 1: (negatif)(negatif) = positif
   - Untuk 1 < x < 2: (positif)(negatif) = negatif
   - Untuk x > 2: (positif)(positif) = positif
   Jadi, pertidaksamaan (x-1)(x-2) < 0 terpenuhi ketika 1 < x < 2.

5. Menggabungkan dengan Syarat Numerus:
   Kita memiliki syarat numerus x > 1. Interval yang memenuhi pertidaksamaan adalah 1 < x < 2. Kedua kondisi ini konsisten.

Oleh karena itu, batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan log(x-1)^2 < log(x-1) adalah 1 < x < 2.