Jika suku banyak x^4-ax^3+bx^2+(a+3)x-(b+6) dibagi oleh

Nilai a + b adalah 10.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep pembagian suku banyak dengan teorema sisa.

Diketahui suku banyak P(x) = x⁴ - ax³ + bx² + (a+3)x - (b+6).
Dibagi oleh x² - 5x + 6.
Sisa pembagian adalah 3x - 5.

Langkah 1: Faktorkan pembagi.
Pembagi adalah x² - 5x + 6. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 6 dan jika dijumlahkan hasilnya -5. Bilangan tersebut adalah -2 dan -3.
Jadi, x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Langkah 2: Gunakan Teorema Sisa.
Jika P(x) dibagi oleh (x-k), sisanya adalah P(k).
Karena pembagi adalah (x-2)(x-3), maka kita dapatkan:

P(2) = sisa ketika dibagi (x-2)
P(3) = sisa ketika dibagi (x-3)

Sisa pembagian adalah 3x - 5.

Maka:
Ketika dibagi (x-2), sisanya adalah 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1.
Ketika dibagi (x-3), sisanya adalah 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4.

Langkah 3: Substitusikan nilai x ke dalam suku banyak.

Untuk x = 2:
P(2) = 2⁴ - a(2)³ + b(2)² + (a+3)(2) - (b+6)
P(2) = 16 - 8a + 4b + 2a + 6 - b - 6
P(2) = 16 - 6a + 3b
Karena P(2) = 1, maka:
16 - 6a + 3b = 1
-6a + 3b = 1 - 16
-6a + 3b = -15
Bagi dengan -3:
2a - b = 5  ...(Persamaan 1)

Untuk x = 3:
P(3) = 3⁴ - a(3)³ + b(3)² + (a+3)(3) - (b+6)
P(3) = 81 - 27a + 9b + 3a + 9 - b - 6
P(3) = 81 - 24a + 8b + 3
P(3) = 84 - 24a + 8b
Karena P(3) = 4, maka:
84 - 24a + 8b = 4
-24a + 8b = 4 - 84
-24a + 8b = -80
Bagi dengan -8:
3a - b = 10  ...(Persamaan 2)

Langkah 4: Selesaikan sistem persamaan linear.
Kita punya dua persamaan:
1) 2a - b = 5
2) 3a - b = 10

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(3a - b) - (2a - b) = 10 - 5
3a - b - 2a + b = 5
a = 5

Substitusikan nilai a = 5 ke Persamaan 1:
2(5) - b = 5
10 - b = 5
b = 10 - 5
b = 5

Langkah 5: Hitung nilai a + b.
a + b = 5 + 5 = 10.

Jadi, nilai a + b adalah 10.