Diketahui A=(tan a+tan b)(1-cot a cot b) dan B=(cot a+cot

Hasil dari A + B adalah 0.

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi A dan B, kita akan menggunakan identitas trigonometri dasar.

Diketahui:
A = (tan a + tan b)(1 - cot a cot b)
B = (cot a + cot b)(1 - tan a tan b)

Langkah 1: Sederhanakan A.
Ingat bahwa cot x = 1/tan x.
A = (tan a + tan b)(1 - (1/tan a)(1/tan b))
A = (tan a + tan b)(1 - 1/(tan a tan b))
A = (tan a + tan b)((tan a tan b - 1)/(tan a tan b))
A = (tan a + tan b)(-(1 - tan a tan b))/(tan a tan b)
A = -(tan a + tan b)(1 - tan a tan b) / (tan a tan b)

Ini belum terlihat menyederhana. Mari kita coba gunakan definisi tan dan cot dalam sin dan cos.

tan x = sin x / cos x
cot x = cos x / sin x

A = (sin a/cos a + sin b/cos b)(1 - (cos a/sin a)(cos b/sin b))
A = ((sin a cos b + cos a sin b)/(cos a cos b)) * (1 - (cos a cos b)/(sin a sin b))
A = ((sin(a+b))/(cos a cos b)) * ((sin a sin b - cos a cos b)/(sin a sin b))
A = (sin(a+b) * -(cos a cos b - sin a sin b)) / (cos a cos b * sin a sin b)
A = -(sin(a+b) * cos(a+b)) / (cos a cos b * sin a sin b)

Langkah 2: Sederhanakan B.
B = (cot a + cot b)(1 - tan a tan b)
B = (cos a/sin a + cos b/sin b)(1 - (sin a/cos a)(sin b/cos b))
B = ((cos a sin b + sin a cos b)/(sin a sin b)) * (1 - (sin a sin b)/(cos a cos b))
B = ((sin(a+b))/(sin a sin b)) * ((cos a cos b - sin a sin b)/(cos a cos b))
B = (sin(a+b) * cos(a+b)) / (sin a sin b * cos a cos b)

Langkah 3: Hitung A + B.
A + B = [-(sin(a+b) * cos(a+b)) / (cos a cos b * sin a sin b)] + [(sin(a+b) * cos(a+b)) / (sin a sin b * cos a cos b)]
A + B = 0

Cara lain untuk menyederhanakan A:
Kita tahu bahwa tan(a+b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a tan b).
Maka, (tan a + tan b) = tan(a+b) * (1 - tan a tan b).
Substitusikan ke A:
A = [tan(a+b) * (1 - tan a tan b)] * (1 - cot a cot b)
A = tan(a+b) * (1 - cot a cot b) * (1 - 1/(tan a tan b))
A = tan(a+b) * (1 - cot a cot b) * ((tan a tan b - 1)/(tan a tan b))
A = tan(a+b) * (1 - cot a cot b) * (-(1 - tan a tan b)/(tan a tan b))
A = -tan(a+b) * (1 - cot a cot b) * (1 - tan a tan b) / (tan a tan b)

Mari kita gunakan identitas:
cot(a+b) = (cot a cot b - 1) / (cot a + cot b)

Mari kita lihat B lagi:
B = (cot a + cot b)(1 - tan a tan b)
B = (cot a + cot b) * (1 - 1/(cot a cot b))
B = (cot a + cot b) * (cot a cot b - 1) / (cot a cot b)
B = cot(a+b) * cot a cot b

Sekarang, mari kita lihat A lagi:
A = (tan a + tan b)(1 - cot a cot b)
A = (tan a + tan b) * (1 - 1/(tan a tan b))
A = (tan a + tan b) * (tan a tan b - 1) / (tan a tan b)
A = tan(a+b) * (tan a tan b - 1)
A = tan(a+b) * -(1 - tan a tan b)

Kita perlu menyederhanakan ekspresi yang lebih rumit. Mari kita kembali ke sin dan cos.

A = (sin(a+b) / (cos a cos b)) * ((sin a sin b - cos a cos b) / (sin a sin b))
A = (sin(a+b) * (-cos(a+b))) / (sin a sin b cos a cos b)

B = ((sin(a+b)) / (sin a sin b)) * ((cos a cos b - sin a sin b) / (cos a cos b))
B = (sin(a+b) * cos(a+b)) / (sin a sin b cos a cos b)

A + B = (-sin(a+b)cos(a+b) + sin(a+b)cos(a+b)) / (sin a sin b cos a cos b)
A + B = 0

Jadi, hasil dari A + B adalah 0.