Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 1 ,

2 + sqrt(2)

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan deret geometri tak hingga. Diketahui suku pertama (a) adalah 1, dan jumlah suku-suku bernomor ganjil adalah 2. Kita diminta mencari jumlah deret dengan rasio positif.

Misalkan deret geometri tak hingga adalah a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ...
Suku-suku bernomor ganjil adalah suku ke-1, ke-3, ke-5, dst.: a, ar^2, ar^4, ...
Ini adalah deret geometri baru dengan suku pertama a' = a dan rasio r' = r^2.

Diketahui:
Suku pertama (a) = 1
Jumlah suku bernomor ganjil (S_ganjil) = 2

Rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah S = a / (1 - r), dengan |r| < 1.
Jumlah suku bernomor ganjil adalah S_ganjil = a' / (1 - r') = a / (1 - r^2).

Substitusikan nilai yang diketahui:
2 = 1 / (1 - r^2)
2(1 - r^2) = 1
2 - 2r^2 = 1
2 - 1 = 2r^2
1 = 2r^2
r^2 = 1/2

Karena rasio positif, maka r = sqrt(1/2) = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2.

Sekarang kita cari jumlah deret tak hingga (S):
S = a / (1 - r)
S = 1 / (1 - sqrt(2)/2)
S = 1 / ((2 - sqrt(2))/2)
S = 2 / (2 - sqrt(2))

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan konjugatnya:
S = (2 / (2 - sqrt(2))) * ((2 + sqrt(2)) / (2 + sqrt(2)))
S = (2 * (2 + sqrt(2))) / (2^2 - (sqrt(2))^2)
S = (4 + 2*sqrt(2)) / (4 - 2)
S = (4 + 2*sqrt(2)) / 2
S = 2 + sqrt(2)

Jadi, jumlah deret dengan rasio positif adalah 2 + sqrt(2).