Jika u1, u2, ..., u7 membentuk barisan geometri, u3=12 dan

Nilai u5 adalah 3/4.

Pembahasan

Diketahui bahwa u1, u2, ..., u7 adalah barisan geometri. Ini berarti setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio yang konstan (r).

Diketahui:
- u3 = 12
- log u1 + log u2 + ... + log u7 = 7 log 3

Sifat logaritma yang relevan:
- log a + log b = log (a * b)
- n log a = log (a^n)

Menggunakan sifat logaritma pada persamaan kedua:
log (u1 * u2 * ... * u7) = log (3^7)
Karena basis logaritmanya sama, maka:
u1 * u2 * ... * u7 = 3^7

Dalam barisan geometri, suku ke-n adalah un = u1 * r^(n-1).
Jadi, hasil kali 7 suku pertama adalah:
(u1) * (u1*r) * (u1*r^2) * ... * (u1*r^6) = u1^7 * r^(0+1+2+3+4+5+6)
Jumlah eksponen r adalah jumlah dari deret aritmatika 0 sampai 6, yaitu (7/2)*(0+6) = 21.
Jadi, hasil kali = u1^7 * r^21 = (u1 * r^3)^7

Kita tahu bahwa u3 = u1 * r^2 = 12.
Juga, kita tahu bahwa suku tengah dari 7 suku (u1 sampai u7) adalah u4.
Dalam barisan geometri, hasil kali suku-suku yang berjarak sama dari tengah adalah konstan. Suku tengah dari u1, u2, ..., u7 adalah u4.

Hasil kali u1 * u2 * ... * u7 = (u4)^7 jika suku-sukunya simetris terhadap u4, tetapi ini tidak selalu benar.

Namun, kita bisa menggunakan sifat lain: u1 * u7 = u2 * u6 = u3 * u5 = 2 * u4.
Sehingga, u1 * u2 * ... * u7 = (u1*u7) * (u2*u6) * (u3*u5) * u4
= (2*u4) * (2*u4) * (2*u4) * u4 = 8 * u4^3

Ini juga kurang membantu secara langsung.

Mari kita kembali ke u1 * u2 * ... * u7 = u1^7 * r^21 = (u1 * r^3)^7.
Kita tahu u1 * u2 * ... * u7 = 3^7.
Maka, (u1 * r^3)^7 = 3^7.
Ini berarti u1 * r^3 = 3.

Kita perlu mencari u5. Rumus u5 adalah u1 * r^4.
Kita memiliki:
u1 * r^2 = 12 (dari u3)
u1 * r^3 = 3

Untuk mencari rasio (r), kita bisa membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama:
(u1 * r^3) / (u1 * r^2) = 3 / 12
r = 1/4

Sekarang kita bisa mencari u1:
u1 * r^2 = 12
u1 * (1/4)^2 = 12
u1 * (1/16) = 12
u1 = 12 * 16 = 192

Terakhir, kita cari u5:
u5 = u1 * r^4
u5 = 192 * (1/4)^4
u5 = 192 * (1/256)
u5 = 192 / 256

Sederhanakan pecahan 192/256. Keduanya bisa dibagi 64.
192 / 64 = 3
256 / 64 = 4

Jadi, u5 = 3/4.

Alternatif yang lebih mudah:
Kita tahu log u1 + ... + log u7 = 7 log 3.
Ini berarti rata-rata log dari suku-suku tersebut adalah log 3.
(log u1 + ... + log u7) / 7 = log 3
log (u1 * ... * u7)^(1/7) = log 3
Ini berarti suku ke-4 (yang merupakan rata-rata geometris dari barisan jika jumlah suku ganjil) adalah 3.
Dalam barisan geometri, u4 = u1 * r^3.
Jadi, u4 = 3.

Kita punya:
u3 = u1 * r^2 = 12
u4 = u1 * r^3 = 3

Bagi u4 dengan u3:
(u1 * r^3) / (u1 * r^2) = 3 / 12
r = 1/4

Sekarang kita cari u5:
u5 = u4 * r
u5 = 3 * (1/4)
u5 = 3/4