Jika |x-1|+|x-3|=2, tentukan nilai x yang memenuhi!

Nilai x yang memenuhi adalah semua x dalam interval [1, 3].

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan nilai mutlak |x-1| + |x-3| = 2.

Untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan nilai mutlak, kita perlu mempertimbangkan kasus-kasus yang berbeda berdasarkan tanda dari ekspresi di dalam nilai mutlak.

Titik kritis adalah nilai \(x\) di mana ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi nol. Dalam kasus ini, titik kritis adalah \(x=1\) (dari |x-1|) dan \(x=3\) (dari |x-3|).

Ini membagi garis bilangan real menjadi tiga interval:
Kasus 1: \(x < 1\)
Dalam interval ini, \(x-1 < 0\) dan \(x-3 < 0\).
Maka, |x-1| = -(x-1) = 1-x
Maka, |x-3| = -(x-3) = 3-x

Persamaan menjadi: (1-x) + (3-x) = 2
4 - 2x = 2
-2x = 2 - 4
-2x = -2
x = 1
Namun, solusi \(x=1\) tidak termasuk dalam kasus \(x < 1\). Jadi, tidak ada solusi dari kasus ini.

Kasus 2: \(1 \le x \le 3\)
Dalam interval ini, \(x-1 \ge 0\) dan \(x-3 \le 0\).
Maka, |x-1| = x-1
Maka, |x-3| = -(x-3) = 3-x

Persamaan menjadi: (x-1) + (3-x) = 2
x - 1 + 3 - x = 2
2 = 2
Persamaan ini benar untuk semua nilai \(x\) dalam interval \(1 \le x \le 3\). Jadi, semua nilai \(x\) dalam interval ini adalah solusi.

Kasus 3: \(x > 3\)
Dalam interval ini, \(x-1 > 0\) dan \(x-3 > 0\).
Maka, |x-1| = x-1
Maka, |x-3| = x-3

Persamaan menjadi: (x-1) + (x-3) = 2
2x - 4 = 2
2x = 6
x = 3
Namun, solusi \(x=3\) tidak termasuk dalam kasus \(x > 3\). Jadi, tidak ada solusi dari kasus ini.

Menggabungkan hasil dari semua kasus:
Dari Kasus 2, kita mendapatkan bahwa semua \(x\) dalam interval \(1 \le x \le 3\) adalah solusi.

Jadi, nilai-nilai \(x\) yang memenuhi persamaan |x-1| + |x-3| = 2 adalah semua \(x\) dalam interval \([1, 3]\).

Penjelasan Alternatif (Interpretasi Jarak):
Persamaan |x-1| + |x-3| = 2 dapat diartikan sebagai jumlah jarak dari \(x\) ke 1 dan jarak dari \(x\) ke 3 adalah sama dengan 2.

Jika kita menempatkan titik 1 dan 3 pada garis bilangan, jarak antara kedua titik ini adalah |3 - 1| = 2.

Jika \(x\) berada di antara 1 dan 3 (inklusif), yaitu \(1 \le x \le 3\), maka jarak dari \(x\) ke 1 adalah \(x-1\) dan jarak dari \(x\) ke 3 adalah \(3-x\).
Jumlah jaraknya adalah \((x-1) + (3-x) = 2\).
Ini sesuai dengan persamaan yang diberikan. Oleh karena itu, semua \(x\) di antara 1 dan 3 (termasuk 1 dan 3) adalah solusi.

Jika \(x < 1\), maka jarak ke 1 adalah \(1-x\) dan jarak ke 3 adalah \(3-x\). Jumlahnya adalah \((1-x) + (3-x) = 4-2x\). Agar ini sama dengan 2, \(4-2x = 2 \implies 2x = 2 \implies x = 1\), yang tidak memenuhi \(x < 1\).

Jika \(x > 3\), maka jarak ke 1 adalah \(x-1\) dan jarak ke 3 adalah \(x-3\). Jumlahnya adalah \((x-1) + (x-3) = 2x-4\). Agar ini sama dengan 2, \(2x-4 = 2 \implies 2x = 6 \implies x = 3\), yang tidak memenuhi \(x > 3\).

Jadi, solusi yang memenuhi adalah \(1 \le x \le 3\).