Jika x^3 - ax^2 - (4 +2akar(3))x + (4+2akar(3) ) habis

1

Pembahasan

Jika sebuah polinomial habis dibagi oleh $(x - r)$, maka $x = r$ adalah akar dari polinomial tersebut, yang berarti jika kita substitusikan $x = r$ ke dalam polinomial, hasilnya akan nol (Teorema Sisa).

Polinomial yang diberikan adalah $P(x) = x^3 - ax^2 - (4 + 2\sqrt{3})x + (4 + 2\sqrt{3})$.

Polinomial tersebut habis dibagi oleh $(x - \sqrt{3} - 1)$. Ini berarti bahwa $x = \sqrt{3} + 1$ adalah akar dari polinomial tersebut. Jadi, $P(\sqrt{3} + 1) = 0$.

Mari kita substitusikan $x = \sqrt{3} + 1$ ke dalam polinomial:
$$ P(\sqrt{3} + 1) = (\sqrt{3} + 1)^3 - a(\sqrt{3} + 1)^2 - (4 + 2\sqrt{3})(\sqrt{3} + 1) + (4 + 2\sqrt{3}) = 0 $$ 

Mari kita hitung setiap bagian:
1. Hitung $(\sqrt{3} + 1)^2$:
$$ (\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(1) + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} $$ 

2. Hitung $(\sqrt{3} + 1)^3$:
$$ (\sqrt{3} + 1)^3 = (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3} + 1)(4 + 2\sqrt{3}) $$ 
$$ = \sqrt{3}(4 + 2\sqrt{3}) + 1(4 + 2\sqrt{3}) $$ 
$$ = 4\sqrt{3} + 2(3) + 4 + 2\sqrt{3} $$ 
$$ = 4\sqrt{3} + 6 + 4 + 2\sqrt{3} $$ 
$$ = 10 + 6\sqrt{3} $$ 

3. Hitung $(4 + 2\sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)$:
$$ (4 + 2\sqrt{3})(\sqrt{3} + 1) = 4(\sqrt{3} + 1) + 2\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) $$ 
$$ = 4\sqrt{3} + 4 + 2(3) + 2\sqrt{3} $$ 
$$ = 4\sqrt{3} + 4 + 6 + 2\sqrt{3} $$ 
$$ = 10 + 6\sqrt{3} $$ 

Sekarang substitusikan kembali hasil perhitungan ini ke dalam persamaan $P(\sqrt{3} + 1) = 0$:
$$ (10 + 6\sqrt{3}) - a(4 + 2\sqrt{3}) - (10 + 6\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = 0 $$ 

Sederhanakan persamaan:
$$ 10 + 6\sqrt{3} - a(4 + 2\sqrt{3}) - 10 - 6\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 0 $$ 

Perhatikan bahwa $+10$ dan $-10$ saling menghilangkan, dan $+6\sqrt{3}$ dan $-6\sqrt{3}$ saling menghilangkan.
$$ -a(4 + 2\sqrt{3}) + 4 + 2\sqrt{3} = 0 $$ 

Pindahkan suku yang mengandung 'a' ke sisi kanan:
$$ 4 + 2\sqrt{3} = a(4 + 2\sqrt{3}) $$ 

Jika $4 + 2\sqrt{3} \neq 0$ (yang memang benar), kita bisa membagi kedua sisi dengan $(4 + 2\sqrt{3})$:
$$ a = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}} $$ 

$$ a = 1 $$ 

Jadi, nilai $a$ adalah 1.