Nilai limit x mendekati tak hingga (akar(x + 2))(akar(2x +

$3\sqrt{2}/2$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan mengalikan ekspresi di dalam kurung terlebih dahulu dan kemudian menggunakan metode yang sesuai.

Limit yang diberikan adalah: 
$$ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x + 2})(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 5}) $$

Pertama, mari kita fokus pada bagian dalam kurung: $(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 5})$. Kita akan merasionalkan bagian ini terlebih dahulu:
$$ \sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 5} = (\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 5}) \times \frac{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x - 5}}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x - 5}} $$

$$ = \frac{(2x + 1) - (2x - 5)}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x - 5}} $$

$$ = \frac{2x + 1 - 2x + 5}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x - 5}} $$

$$ = \frac{6}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x - 5}} $$

Sekarang, substitusikan kembali ke dalam limit:
$$ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x + 2}) \left( \frac{6}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x - 5}} \right) $$

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{6\sqrt{x + 2}}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x - 5}} $$

Untuk limit tak hingga, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu $\sqrt{x}$.

Bagi pembilang dengan $\sqrt{x}$:
$$ \frac{6\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x}} = 6\sqrt{\frac{x + 2}{x}} = 6\sqrt{1 + \frac{2}{x}} $$

Bagi penyebut dengan $\sqrt{x}$:
$$ \frac{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x - 5}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{2x + 1}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{2x - 5}}{\sqrt{x}} $$ 
$$ = \sqrt{\frac{2x + 1}{x}} + \sqrt{\frac{2x - 5}{x}} $$ 
$$ = \sqrt{2 + \frac{1}{x}} + \sqrt{2 - \frac{5}{x}} $$

Jadi, limitnya menjadi:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{6\sqrt{1 + \frac{2}{x}}}{\sqrt{2 + \frac{1}{x}} + \sqrt{2 - \frac{5}{x}}} $$

Saat $x \to \infty$, $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x}$, dan $\frac{5}{x}$ semuanya mendekati 0.

$$ = \frac{6\sqrt{1 + 0}}{\sqrt{2 + 0} + \sqrt{2 - 0}} $$

$$ = \frac{6\sqrt{1}}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} $$

$$ = \frac{6}{2\sqrt{2}} $$

$$ = \frac{3}{\sqrt{2}} $$

Untuk merasionalkan penyebut:
$$ = \frac{3}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$

$$ = \frac{3\sqrt{2}}{2} $$