Jika x=3 merupakan akar dari x^4-3x^3-7x^2+27x+m=0, nilai m

m = -18, akar lainnya adalah 1, -3, dan 2.

Pembahasan

Diketahui sebuah persamaan polinomial: $x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 27x + m = 0$.
Kita diberitahu bahwa $x=3$ adalah salah satu akar dari persamaan tersebut. Ini berarti jika kita substitusikan $x=3$ ke dalam persamaan, hasilnya harus nol.

Substitusi $x=3$:
$(3)^4 - 3(3)^3 - 7(3)^2 + 27(3) + m = 0$
$81 - 3(27) - 7(9) + 81 + m = 0$
$81 - 81 - 63 + 81 + m = 0$
$0 - 63 + 81 + m = 0$
$18 + m = 0$
$m = -18$

Jadi, nilai $m$ adalah -18. Persamaan polinomialnya menjadi $x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 27x - 18 = 0$.

Karena $x=3$ adalah akar, maka $(x-3)$ adalah faktor dari polinomial tersebut. Kita bisa menggunakan pembagian polinomial (sintetik atau bersusun) untuk mencari faktor lainnya.

Menggunakan pembagian sintetik dengan akar 3:

```
3 | 1  -3  -7   27  -18
  |    3   0  -21   18
  --------------------
    1   0  -7    6    0
```

Hasil pembagiannya adalah polinomial derajat 3: $x^3 + 0x^2 - 7x + 6$, atau $x^3 - 7x + 6$.

Sekarang kita perlu mencari akar-akar dari $x^3 - 7x + 6 = 0$. Kita sudah tahu $x=3$ adalah akar dari persamaan awal. Mari kita cek apakah $x=3$ juga akar dari polinomial baru ini:
$(3)^3 - 7(3) + 6 = 27 - 21 + 6 = 6 + 6 = 12 \neq 0$.
Ini berarti $x=3$ hanya merupakan satu akar dari polinomial derajat 4, dan setelah dibagi $(x-3)$, polinomial hasilnya tidak lagi memiliki $x=3$ sebagai akar (kecuali jika $x=3$ adalah akar ganda).

Kita coba mencari akar-akar rasional dari $x^3 - 7x + 6 = 0$. Faktor-faktor dari konstanta 6 adalah $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Coba $x=1$:
$(1)^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$. Jadi, $x=1$ adalah akar.

Karena $x=1$ adalah akar, maka $(x-1)$ adalah faktor. Kita bagi $x^3 - 7x + 6$ dengan $(x-1)$:

```
1 | 1   0  -7   6
  |     1   1  -6
  ----------------
    1   1  -6   0
```

Hasilnya adalah $x^2 + x - 6$.

Sekarang kita cari akar dari $x^2 + x - 6 = 0$. Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
$(x+3)(x-2) = 0$

Ini memberikan akar $x = -3$ dan $x = 2$.

Jadi, akar-akar dari persamaan $x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 27x - 18 = 0$ adalah $x=3$ (yang diberikan), $x=1$, $x=-3$, dan $x=2$.

Nilai $m = -18$. Akar-akar yang lain adalah 1, -3, dan 2.