Jika x1 dan x2 merupakan solusi dari persamaan

x=1 adalah satu-satunya solusi yang membuat kedua eksponen bernilai nol. Jika demikian, x1=1, x2=1, sehingga 4x1-x2=3. Namun, jika soal merujuk pada akar-akar terpisah dari eksponen, perlu klarifikasi lebih lanjut.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial 5^(2x^3-5x+3) = 3^(2x^2-5x+3), kita perlu menyamakan eksponennya karena basisnya berbeda. Ini terjadi ketika eksponennya sama dengan nol.

Misalkan P = 2x^3 - 5x + 3 dan Q = 2x^2 - 5x + 3.
Persamaan menjadi 5^P = 3^Q.
Agar persamaan ini bernilai benar, maka P = 0 dan Q = 0.

Mari kita selesaikan Q = 0 terlebih dahulu:
2x^2 - 5x + 3 = 0
Ini adalah persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan.
(2x - 3)(x - 1) = 0
Maka, solusinya adalah x = 3/2 atau x = 1.

Sekarang, mari kita cek apakah salah satu dari nilai x ini juga membuat P = 0:
Jika x = 1:
P = 2(1)^3 - 5(1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0.
Jadi, x = 1 adalah solusi yang memenuhi kedua persamaan.

Jika x = 3/2:
P = 2(3/2)^3 - 5(3/2) + 3
P = 2(27/8) - 15/2 + 3
P = 27/4 - 30/4 + 12/4
P = (27 - 30 + 12) / 4
P = 9/4.
Karena P tidak sama dengan 0 ketika x = 3/2, maka x = 3/2 bukanlah solusi dari persamaan awal.

Namun, perlu diperhatikan bahwa persamaan asli adalah 5^(2x^3-5x+3) = 3^(2x^2-5x+3). Solusi yang paling jelas adalah ketika kedua eksponen sama dengan 0. Akan tetapi, jika kita memiliki a^m = b^n, solusi juga bisa terjadi jika m = n = 0.

Mari kita analisis kembali persamaannya:
5^(2x^3-5x+3) = 3^(2x^2-5x+3)
Ambil logaritma natural (ln) dari kedua sisi:
(2x^3-5x+3) ln(5) = (2x^2-5x+3) ln(3)

Kita sudah menemukan bahwa x=1 adalah solusi karena kedua eksponen menjadi 0.
Sekarang kita perlu mencari solusi lain.
Perhatikan kembali persamaan kuadrat: 2x^2 - 5x + 3 = 0.
Solusinya adalah x = 1 dan x = 3/2.

Kita perlu mencari nilai x yang membuat 2x^3 - 5x + 3 = 0.
Kita tahu x=1 adalah salah satu akarnya.
Mari kita coba faktorkan polinomial 2x^3 - 5x + 3.
Karena x=1 adalah akar, maka (x-1) adalah faktornya.
Dengan pembagian polinomial atau metode Horner, kita dapatkan:
(x-1)(2x^2 + 2x - 3) = 0.

Jadi, akar-akar dari 2x^3 - 5x + 3 = 0 adalah x=1 dan akar-akar dari 2x^2 + 2x - 3 = 0.
Untuk 2x^2 + 2x - 3 = 0, kita gunakan rumus kuadrat:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [-2 ± sqrt(2^2 - 4(2)(-3))] / 2(2)
x = [-2 ± sqrt(4 + 24)] / 4
x = [-2 ± sqrt(28)] / 4
x = [-2 ± 2*sqrt(7)] / 4
x = [-1 ± sqrt(7)] / 2.

Jadi, akar-akar dari 2x^3 - 5x + 3 = 0 adalah x = 1, x = (-1 + sqrt(7))/2, dan x = (-1 - sqrt(7))/2.

Sekarang kita perlu mencari solusi dari persamaan 5^P = 3^Q. Solusi eksponensial ini umumnya terjadi ketika:
1. P = 0 dan Q = 0 (kita sudah temukan x=1)
2. P = Q dan basisnya sama (tidak terjadi di sini)
3. P = Q = 0
4. Atau ketika P = k * m dan Q = k * n di mana a^m = b^n.

Dalam kasus ini, kita perlu mempertimbangkan jika ada nilai x lain yang membuat kedua eksponen tersebut sama. Namun, soal tes PTN/UN seringkali menguji pemahaman bahwa jika a^f(x) = b^g(x) dan a != b, maka solusi paling umum adalah ketika f(x) = 0 dan g(x) = 0.

Mari kita asumsikan bahwa solusi yang dimaksud soal adalah ketika kedua eksponen bernilai 0, karena ini adalah cara paling umum soal seperti ini dirancang di tingkat ujian.

Jika kita hanya mempertimbangkan solusi di mana kedua eksponen sama dengan 0, maka:
2x^3 - 5x + 3 = 0  => x = 1, x = (-1 ± sqrt(7))/2
2x^2 - 5x + 3 = 0  => x = 1, x = 3/2

Satu-satunya nilai x yang membuat kedua eksponen bernilai 0 adalah x = 1.

Namun, jika kita mempertimbangkan bahwa persamaan 5^P = 3^Q mungkin memiliki solusi lain di luar P=0 dan Q=0, ini menjadi jauh lebih kompleks dan biasanya memerlukan metode numerik atau analisis lebih lanjut yang tidak umum untuk soal tes standar.

Ada kemungkinan soal ini memiliki kesalahan pengetikan atau dimaksudkan untuk menguji kasus P=0 dan Q=0.

Jika kita bersikeras mencari solusi di mana P dan Q tidak harus 0, maka:
(2x^3-5x+3) ln(5) = (2x^2-5x+3) ln(3)

Jika kita kembali ke pemfaktoran:
2x^3 - 5x + 3 = (x-1)(2x^2 + 2x - 3)
2x^2 - 5x + 3 = (x-1)(2x - 3)

Persamaan menjadi:
(x-1)(2x^2 + 2x - 3) ln(5) = (x-1)(2x - 3) ln(3)

Kita dapat membagi kedua sisi dengan (x-1), asalkan x != 1.
Jika x != 1:
(2x^2 + 2x - 3) ln(5) = (2x - 3) ln(3)
2x^2 ln(5) + 2x ln(5) - 3 ln(5) = 2x ln(3) - 3 ln(3)
2x^2 ln(5) + (2 ln(5) - 2 ln(3))x + (3 ln(3) - 3 ln(5)) = 0
2x^2 ln(5) + 2(ln(5) - ln(3))x + 3(ln(3) - ln(5)) = 0
2x^2 ln(5) + 2 ln(5/3)x - 3 ln(5/3) = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam x. Solusinya akan lebih rumit.

Kemungkinan besar, soal ini mengasumsikan bahwa satu-satunya solusi yang perlu dipertimbangkan adalah ketika kedua eksponen sama dengan nol, karena ini adalah pendekatan standar untuk soal semacam ini di tingkat SMA.
Dalam kasus ini, hanya x = 1 yang memenuhi P=0 dan Q=0 secara bersamaan.

Jika hanya ada satu solusi x=1, maka x1=1 dan x2=1. Maka 4x1-x2 = 4(1)-1 = 3.
Ini tampaknya terlalu sederhana untuk soal yang ditanyakan.

Mari kita periksa kembali apakah ada interpretasi lain. Jika x1 dan x2 adalah solusi dari persamaan eksponensial, mungkin maksudnya adalah solusi dari persamaan yang dihasilkan setelah penyederhanaan, atau solusi yang membuat basis sama dengan 1, atau eksponen sama dengan 0.

Jika kita melihat kembali persamaan: 5^(2x^3-5x+3) = 3^(2x^2-5x+3)
Karena basis 5 dan 3 berbeda dan bukan 1 atau -1, maka satu-satunya cara kesamaan ini bisa berlaku secara umum adalah jika kedua eksponen sama dengan 0.

Jadi, kita perlu mencari nilai x yang membuat:
1) 2x^3 - 5x + 3 = 0
2) 2x^2 - 5x + 3 = 0

Dari (2): (2x-3)(x-1) = 0, maka x = 3/2 atau x = 1.
Dari (1): Kita tahu x=1 adalah salah satu akarnya. Dengan memfaktorkan (x-1)(2x^2+2x-3) = 0, maka x=1 atau 2x^2+2x-3=0.
Akar dari 2x^2+2x-3=0 adalah x = (-1 ± sqrt(7))/2.

Nilai x yang memenuhi KEDUA persamaan adalah x = 1.
Jika hanya x=1 yang merupakan solusi bersama, maka x1=1 dan x2=1. Ini akan menghasilkan 4x1-x2 = 3.

Ada kemungkinan besar soal ini dimaksudkan agar kita mempertimbangkan akar-akar dari masing-masing eksponen secara terpisah, dan kemudian memilih akar yang memenuhi syarat.

Mari kita coba interpretasi lain: Jika kita mengambil logaritma:
(2x^3 - 5x + 3) log 5 = (2x^2 - 5x + 3) log 3.

Jika ada nilai x yang membuat 2x^3-5x+3 = 0 DAN 2x^2-5x+3 = 0, maka x=1 adalah solusinya. Dalam kasus ini, x1=1, x2=1, 4x1-x2=3.

Jika ada nilai x yang membuat 2x^3-5x+3 = k dan 2x^2-5x+3 = k * (log 3 / log 5), ini juga rumit.

Kemungkinan besar, soal ini menguji kasus di mana eksponen sama dengan nol. Jika demikian, hanya x=1 yang memenuhi kedua eksponen menjadi nol. Ini berarti soal ini mungkin memiliki kesalahan, atau menguji pemahaman bahwa satu-satunya solusi adalah x=1.

Jika soalnya adalah: Jika x1 dan x2 adalah solusi dari persamaan (2x^3-5x+3) = 0 ATAU (2x^2-5x+3) = 0, maka...
Maka solusinya adalah: 1, 3/2, (-1+sqrt(7))/2, (-1-sqrt(7))/2.

Jika kita mengasumsikan bahwa soal ini merujuk pada solusi dari sistem persamaan:
2x^3 - 5x + 3 = 0
2x^2 - 5x + 3 = 0
Maka satu-satunya solusi adalah x = 1.
Dalam konteks ini, x1=1 dan x2=1. Sehingga 4x1-x2 = 4(1)-1 = 3.

Namun, jika kita menafsirkan bahwa x1 dan x2 adalah akar-akar dari POLINOMIAL eksponennya, bukan dari sistem persamaannya:
Polinomial pertama: 2x^3 - 5x + 3 = 0. Akarnya adalah 1, (-1+sqrt(7))/2, (-1-sqrt(7))/2.
Polinomial kedua: 2x^2 - 5x + 3 = 0. Akarnya adalah 1, 3/2.

Jika x1 dan x2 adalah akar dari POLINOMIAL eksponen, dan x1 > x2.
Maka, akar-akar yang mungkin adalah: 1, 3/2, (-1+sqrt(7))/2, (-1-sqrt(7))/2.
Kita perlu menentukan mana yang merupakan