Jumlah akar-akar persamaan polinomial

Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah 6.

Pembahasan

Diberikan persamaan polinomial (x^2 + x - 12)(x^2 - 7x + 10) = 0. Untuk mencari jumlah akar-akar persamaan ini, kita perlu menemukan akar-akar dari setiap faktor kuadrat terlebih dahulu, atau kita bisa mengekspansi persamaan tersebut menjadi satu polinomial tunggal dan kemudian menggunakan sifat jumlah akar.

Cara 1: Menemukan akar dari setiap faktor.
Faktor pertama: x^2 + x - 12 = 0
Kita bisa memfaktorkannya: (x + 4)(x - 3) = 0
Akarnya adalah x = -4 dan x = 3.

Faktor kedua: x^2 - 7x + 10 = 0
Kita bisa memfaktorkannya: (x - 2)(x - 5) = 0
Akarnya adalah x = 2 dan x = 5.

Jadi, akar-akar dari persamaan polinomial keseluruhan adalah -4, 3, 2, dan 5.
Jumlah akar-akarnya adalah: -4 + 3 + 2 + 5 = 6.

Cara 2: Mengekspansi polinomial dan menggunakan sifat jumlah akar.
(x^2 + x - 12)(x^2 - 7x + 10) = x^2(x^2 - 7x + 10) + x(x^2 - 7x + 10) - 12(x^2 - 7x + 10)
= (x^4 - 7x^3 + 10x^2) + (x^3 - 7x^2 + 10x) - (12x^2 - 84x + 120)
= x^4 - 7x^3 + x^3 + 10x^2 - 7x^2 - 12x^2 + 10x + 84x - 120
= x^4 - 6x^3 - 9x^2 + 94x - 120

Untuk persamaan polinomial umum a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0, jumlah akar-akarnya adalah -a_{n-1} / a_n.
Dalam kasus ini, polinomialnya adalah x^4 - 6x^3 - 9x^2 + 94x - 120 = 0.
Koefisien dari x^4 (a_4) adalah 1.
Koefisien dari x^3 (a_3) adalah -6.

Jumlah akar-akarnya adalah -a_3 / a_4 = -(-6) / 1 = 6.

Kedua cara memberikan hasil yang sama. Jumlah akar-akar persamaan polinomial tersebut adalah 6.