Jumlah dua bilangan asli x dan y sama dengan 300. Fungsi P

x = 100, y = 200, P_maksimum = 4.000.000

Pembahasan

a. Dari informasi yang diberikan, kita tahu bahwa x + y = 300, sehingga y = 300 - x. Mengganti y dalam fungsi P, kita mendapatkan P = x * (300 - x)^2. Jadi, P sebagai fungsi x adalah P(x) = x(300 - x)^2.
b. Untuk mencari nilai maksimum P, kita perlu mencari turunan pertama P(x) terhadap x dan menyetelnya sama dengan nol. P(x) = x(90000 - 600x + x^2) = 90000x - 600x^2 + x^3. Turunan pertama P'(x) = 90000 - 1200x + 3x^2. Menyetel P'(x) = 0: 3x^2 - 1200x + 90000 = 0. Membagi dengan 3: x^2 - 400x + 30000 = 0. Menggunakan rumus kuadrat: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a. x = [400 ± sqrt((-400)^2 - 4 * 1 * 30000)] / 2 * 1. x = [400 ± sqrt(160000 - 120000)] / 2. x = [400 ± sqrt(40000)] / 2. x = [400 ± 200] / 2. Jadi, x = 300 atau x = 100. Jika x = 300, maka y = 300 - 300 = 0, P = 300 * 0^2 = 0. Jika x = 100, maka y = 300 - 100 = 200, P = 100 * 200^2 = 100 * 40000 = 4000000. Untuk memastikan ini adalah maksimum, kita bisa gunakan turunan kedua. P''(x) = -1200 + 6x. P''(100) = -1200 + 600 = -600 (negatif, jadi maksimum). P''(300) = -1200 + 1800 = 600 (positif, jadi minimum). Jadi, nilai x = 100 dan y = 200 agar P terbesar, dan nilai P terbesar adalah 4.000.000.