Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x^2 - 3x + n = 0 sama

Nilai n adalah -10.

Pembahasan

Misalkan akar-akar persamaan x^2 - 3x + n = 0 adalah α dan β. Berdasarkan rumus Vieta:
Jumlah akar: α + β = -(-3)/1 = 3
Perkalian akar: αβ = n/1 = n

Jumlah kuadrat akar-akar adalah α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ.
α^2 + β^2 = (3)^2 - 2(n) = 9 - 2n.

Misalkan akar-akar persamaan x^2 + x - n = 0 adalah γ dan δ. Berdasarkan rumus Vieta:
Jumlah akar: γ + δ = -(1)/1 = -1
Perkalian akar: γδ = -n/1 = -n

Jumlah pangkat tiga akar-akar adalah γ^3 + δ^3.
Kita tahu bahwa γ^3 + δ^3 = (γ + δ)(γ^2 - γδ + δ^2).
Kita perlu mencari γ^2 + δ^2 terlebih dahulu:
γ^2 + δ^2 = (γ + δ)^2 - 2γδ
γ^2 + δ^2 = (-1)^2 - 2(-n) = 1 + 2n.

Sekarang substitusikan kembali ke rumus jumlah pangkat tiga:
γ^3 + δ^3 = (-1)((1 + 2n) - (-n))
γ^3 + δ^3 = (-1)(1 + 2n + n)
γ^3 + δ^3 = (-1)(1 + 3n) = -1 - 3n.

Menurut soal, jumlah kuadrat akar-akar persamaan pertama sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kedua:
α^2 + β^2 = γ^3 + δ^3
9 - 2n = -1 - 3n

Pindahkan suku-suku n ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
-2n + 3n = -1 - 9
n = -10.

Jadi, nilai n adalah -10.