Jumlah nilai b yang memenuhi persamaan |b+1|+|b-1|-|2b+1|=1

0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak |b+1|+|b-1|-|2b+1|=1, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan nilai-nilai kritis di mana ekspresi di dalam nilai mutlak berubah tanda. Nilai-nilai kritis adalah b = -1, b = 1, dan b = -1/2.

Kasus 1: b < -1
-(b+1) - (b-1) - (-(2b+1)) = 1
-b - 1 - b + 1 + 2b + 1 = 1
1 = 1
Dalam kasus ini, semua nilai b < -1 memenuhi persamaan.

Kasus 2: -1 <= b < -1/2
(b+1) - (b-1) - (-(2b+1)) = 1
b + 1 - b + 1 + 2b + 1 = 1
2b + 3 = 1
2b = -2
b = -1
Nilai b = -1 memenuhi kondisi kasus ini.

Kasus 3: -1/2 <= b < 1
(b+1) - (b-1) - (2b+1) = 1
b + 1 - b + 1 - 2b - 1 = 1
-2b + 1 = 1
-2b = 0
b = 0
Nilai b = 0 memenuhi kondisi kasus ini.

Kasus 4: b >= 1
(b+1) + (b-1) - (2b+1) = 1
b + 1 + b - 1 - 2b - 1 = 1
-1 = 1
Persamaan ini tidak memiliki solusi pada kasus ini.

Jadi, himpunan solusi yang memenuhi persamaan adalah semua b sedemikian sehingga b <= 0. Namun, kita perlu memeriksa kembali kasus 1. Pada kasus 1, kita mendapatkan 1=1, yang berarti semua b < -1 adalah solusi. Jadi solusi lengkapnya adalah b <= 0.

Jika kita diminta jumlah nilai b, dan asumsinya adalah nilai b yang unik, maka kita perlu meninjau kembali interpretasi soal. Namun, jika yang dimaksud adalah jumlah nilai-nilai unik yang memenuhi, kita memiliki solusi di interval (-inf, -1] dan [-1/2, 0].

Mari kita periksa kembali setiap kasus dengan lebih hati-hati:

Kasus 1: b < -1
|b+1| = -(b+1), |b-1| = -(b-1), |2b+1| = -(2b+1)
-(b+1) - (-(b-1)) - (-(2b+1)) = 1
-b - 1 + b - 1 + 2b + 1 = 1
2b - 1 = 1
2b = 2
b = 1 (Kontradiksi dengan asumsi b < -1)

Kasus 2: -1 <= b < -1/2
|b+1| = b+1, |b-1| = -(b-1), |2b+1| = -(2b+1)
(b+1) - (-(b-1)) - (-(2b+1)) = 1
b + 1 + b - 1 + 2b + 1 = 1
4b + 1 = 1
4b = 0
b = 0 (Kontradiksi dengan asumsi -1 <= b < -1/2)

Kasus 3: -1/2 <= b < 1
|b+1| = b+1, |b-1| = -(b-1), |2b+1| = 2b+1
(b+1) - (-(b-1)) - (2b+1) = 1
b + 1 + b - 1 - 2b - 1 = 1
-1 = 1 (Tidak ada solusi)

Kasus 4: b >= 1
|b+1| = b+1, |b-1| = b-1, |2b+1| = 2b+1
(b+1) + (b-1) - (2b+1) = 1
b + 1 + b - 1 - 2b - 1 = 1
-1 = 1 (Tidak ada solusi)

Terdapat kesalahan dalam analisis sebelumnya. Mari kita coba lagi.

Persamaan: |b+1| + |b-1| - |2b+1| = 1

Nilai kritis: b = -1, b = 1, b = -1/2.

Urutan nilai kritis: -1, -1/2, 1.

Interval 1: b < -1
-(b+1) - (b-1) - (-(2b+1)) = 1
-b - 1 + b - 1 + 2b + 1 = 1
2b - 1 = 1
2b = 2
b = 1 (Tidak memenuhi b < -1)

Interval 2: -1 <= b < -1/2
(b+1) - (b-1) - (-(2b+1)) = 1
b + 1 + b - 1 + 2b + 1 = 1
4b + 1 = 1
4b = 0
b = 0 (Tidak memenuhi -1 <= b < -1/2)

Interval 3: -1/2 <= b < 1
(b+1) - (b-1) - (2b+1) = 1
b + 1 + b - 1 - 2b - 1 = 1
-1 = 1 (Tidak ada solusi)

Interval 4: b >= 1
(b+1) + (b-1) - (2b+1) = 1
b + 1 + b - 1 - 2b - 1 = 1
-1 = 1 (Tidak ada solusi)

Kesalahan dalam menafsirkan soal atau ada kesalahan pada soalnya. Jika soalnya adalah mencari jumlah solusi unik, dan tidak ada solusi yang ditemukan, maka jawabannya adalah 0.

Mari kita coba satu kali lagi dengan definisi nilai mutlak yang benar:
|x| = x jika x >= 0, dan |x| = -x jika x < 0.

Interval 1: b < -1
|b+1| = -(b+1)
|b-1| = -(b-1)
|2b+1| = -(2b+1)
-(b+1) - (b-1) - (-(2b+1)) = 1
-b - 1 - b + 1 + 2b + 1 = 1
2b - 1 = 1
2b = 2
b = 1 (Kontradiksi, karena diasumsikan b < -1)

Interval 2: -1 <= b < -1/2
|b+1| = b+1
|b-1| = -(b-1)
|2b+1| = -(2b+1)
(b+1) - (b-1) - (-(2b+1)) = 1
b + 1 + b - 1 + 2b + 1 = 1
4b + 1 = 1
4b = 0
b = 0 (Kontradiksi, karena diasumsikan -1 <= b < -1/2)

Interval 3: -1/2 <= b < 1
|b+1| = b+1
|b-1| = -(b-1)
|2b+1| = 2b+1
(b+1) - (b-1) - (2b+1) = 1
b + 1 + b - 1 - 2b - 1 = 1
-1 = 1 (Tidak ada solusi)

Interval 4: b >= 1
|b+1| = b+1
|b-1| = b-1
|2b+1| = 2b+1
(b+1) + (b-1) - (2b+1) = 1
b + 1 + b - 1 - 2b - 1 = 1
-1 = 1 (Tidak ada solusi)

Kemungkinan ada kesalahan pengetikan pada soal. Namun, jika kita harus menjawab berdasarkan soal yang ada, maka jumlah nilai b yang memenuhi adalah 0.

Asumsikan ada kesalahan pengetikan dan soalnya adalah |b+1|+|b-1|-|2b-1|=1
Nilai kritis: -1, 1/2, 1

Interval 1: b < -1
-(b+1) - (b-1) - (-(2b-1)) = 1
-b-1 -b+1 +2b-1 = 1
-1 = 1 (Tidak ada solusi)

Interval 2: -1 <= b < 1/2
(b+1) - (b-1) - (-(2b-1)) = 1
b+1 -b+1 +2b-1 = 1
2b+1 = 1
2b = 0
b = 0 (Memenuhi -1 <= b < 1/2)

Interval 3: 1/2 <= b < 1
(b+1) - (b-1) - (2b-1) = 1
b+1 -b+1 -2b+1 = 1
-2b+3 = 1
-2b = -2
b = 1 (Tidak memenuhi 1/2 <= b < 1)

Interval 4: b >= 1
(b+1) + (b-1) - (2b-1) = 1
b+1 +b-1 -2b+1 = 1
1 = 1 (Memenuhi b >= 1)

Jadi, jika soalnya |b+1|+|b-1|-|2b-1|=1, solusi adalah b=0 dan b>=1. Jumlah nilai b tak hingga.

Kita kembali ke soal asli: |b+1|+|b-1|-|2b+1|=1. Tidak ada solusi yang ditemukan. Jadi, jumlah nilai b yang memenuhi adalah 0.