Jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan x^2 - 2x + p = 0

-15

Pembahasan

Diberikan persamaan kuadrat x^2 - 2x + p = 0.
Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah \(\alpha\) dan \(\beta\).
Menurut sifat akar-akar persamaan kuadrat:
Jumlah akar: \(\alpha + \beta = -(\text{koefisien } x) / (\text{koefisien } x^2) = -(-2)/1 = 2
Perkalian akar: \(\alpha \beta = (\text{konstanta}) / (\text{koefisien } x^2) = p/1 = p

Diketahui bahwa jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan adalah 98, yaitu \(\alpha^3 + \beta^3 = 98

Kita dapat menggunakan identitas aljabar untuk \(\alpha^3 + \beta^3\):
\(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)\)
Kita juga tahu bahwa \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta\).
Jadi, \(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) - \alpha\beta)\)
\(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)\)

Sekarang kita substitusikan nilai yang diketahui:\(\alpha + \beta = 2\) dan \(\alpha\beta = p\).
\(98 = (2)((2)^2 - 3p)\)
\(98 = 2(4 - 3p)\)

Bagi kedua sisi dengan 2:
\(49 = 4 - 3p\)

Pindahkan 4 ke sisi kiri:
\(49 - 4 = -3p\)
\(45 = -3p\)

Bagi kedua sisi dengan -3:
\(p = 45 / -3\)
\(p = -15\)

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah -15.