Jumlah suku pertama dan ke-3 suatu barisan geometri sama

a. Rasio = 1/2, Suku pertama = 20. b. Lima suku pertama: 20, 10, 5, 5/2, 5/4.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan barisan geometri. Kita perlu mencari rasio dan suku pertama, kemudian menuliskan lima suku pertama.

Diketahui:
1.  Jumlah suku pertama ($a$) dan suku ke-3 ($ar^2$) adalah 25.
    $a + ar^2 = 25$
    $a(1 + r^2) = 25$   (Persamaan 1)

2.  Suku ke-5 ($ar^4$) adalah 5/4, dengan rasio positif.
    $ar^4 = 5/4$       (Persamaan 2)

Kita perlu mencari nilai $a$ dan $r$.

a. Mencari rasio ($r$) dan suku pertama ($a$):
Dari Persamaan 2, kita bisa nyatakan $a$ sebagai: $a = \\frac{5}{4r^4}$

Substitusikan nilai $a$ ini ke dalam Persamaan 1:
$(\\frac{5}{4r^4})(1 + r^2) = 25$

Bagi kedua sisi dengan 5:
$(\\frac{1}{4r^4})(1 + r^2) = 5$

Kalikan kedua sisi dengan $4r^4$:
$1 + r^2 = 5 * 4r^4$
$1 + r^2 = 20r^4$

Susun ulang menjadi persamaan kuadrat dalam $r^2$:
$20r^4 - r^2 - 1 = 0$

Misalkan $x = r^2$. Maka persamaan menjadi:
$20x^2 - x - 1 = 0$

Kita bisa faktorkan persamaan kuadrat ini atau menggunakan rumus ABC.
Mari kita faktorkan:
Kita cari dua angka yang jika dikalikan menghasilkan $20 * (-1) = -20$ dan jika dijumlahkan menghasilkan -1.
Angka-angka tersebut adalah -5 dan 4.

$20x^2 - 5x + 4x - 1 = 0$
$5x(4x - 1) + 1(4x - 1) = 0$
$(5x + 1)(4x - 1) = 0$

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk $x$ (yaitu $r^2$):
*   $5x + 1 = 0  => 5x = -1  => x = -1/5$
*   $4x - 1 = 0  => 4x = 1   => x = 1/4$

Karena $x = r^2$, maka nilai $r^2$ tidak boleh negatif. Jadi, kita ambil $r^2 = 1/4$.

Karena rasio ditentukan positif, maka:
$r = \\sqrt{1/4}$
$r = 1/2$

Sekarang kita cari suku pertama ($a$) menggunakan $r = 1/2$ dan Persamaan 2:
$a * (1/2)^4 = 5/4$
$a * (1/16) = 5/4$
$a = (5/4) * 16$
$a = 5 * 4$
$a = 20$

Jadi, rasio adalah $1/2$ dan suku pertama adalah $20$.

Verifikasi dengan Persamaan 1:
$a(1 + r^2) = 20(1 + (1/2)^2) = 20(1 + 1/4) = 20(5/4) = 5 * 5 = 25$. (Benar)

b. Menuliskan lima buah suku pertama:
Suku pertama ($a_1$) = $a = 20$
Suku kedua ($a_2$) = $ar = 20 * (1/2) = 10$
Suku ketiga ($a_3$) = $ar^2 = 20 * (1/2)^2 = 20 * (1/4) = 5$
Suku keempat ($a_4$) = $ar^3 = 20 * (1/2)^3 = 20 * (1/8) = 20/8 = 5/2$
Suku kelima ($a_5$) = $ar^4 = 20 * (1/2)^4 = 20 * (1/16) = 20/16 = 5/4$

Lima buah suku pertama adalah: 20, 10, 5, 5/2, 5/4.