Koefisien x^2 dari penjabaran bentuk (2-2/x)^8 adalah ....

0

Pembahasan

Untuk mencari koefisien x^2 dari penjabaran \((2 - 2/x)^8\), kita gunakan teorema binomial. Rumus teorema binomial adalah \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\). Dalam kasus ini, \(a=2\), \(b=-2/x\), dan \(n=8\). Kita ingin mencari suku di mana pangkat \(x\) adalah \(x^2\). Suku ke-k+1 adalah \(\binom{8}{k} (2)^{8-k} (-2/x)^k\). Kita perlu pangkat \(x\) menjadi \(x^2\). Dalam suku \((-2/x)^k\), ini adalah \((-2)^k / x^k\). Jadi kita perlu \(x^{-k}\) menjadi \(x^2\) atau \(x^{-2}\). Ini berarti \(k = -2\) atau \(k=2\) agar menghasilkan \(x^{-2}\). Namun, dalam rumus binomial, \(k\) adalah bilangan bulat non-negatif. Mari kita periksa kembali. Suku umum adalah \(\binom{n}{k} a^{n-k} b^k = \binom{8}{k} (2)^{8-k} (-2/x)^k = \binom{8}{k} 2^{8-k} (-2)^k x^{-k}\). Agar mendapatkan koefisien \(x^2\), kita perlu \(x^{-k} = x^2\) atau \(-k = 2\) atau \(k = -2\). Ini tidak mungkin karena \(k\) harus non-negatif. Ada kemungkinan kesalahan dalam pertanyaan atau pemahaman saya. Namun, jika yang dimaksud adalah koefisien suku dengan \(x^{-2}\), maka \(k=2\). Suku tersebut adalah \(\binom{8}{2} (2)^{8-2} (-2/x)^2 = \frac{8 \times 7}{2} \times 2^6 \times (-2)^2 / x^2 = 28 \times 64 \times 4 / x^2 = 7168 / x^2\). Koefisiennya adalah 7168. Jika yang dimaksud adalah koefisien dari \(x^2\) dalam bentuk \((2x-2/x)^8\) atau \((2x^2-2)^8/x^8\), maka perhitungannya berbeda. Dengan asumsi pertanyaan adalah mencari koefisien \(x^{-2}\) dari \((2-2/x)^8\), koefisiennya adalah 7168. Namun, jika pertanyaan benar-benar mencari koefisien \(x^2\), maka itu tidak ada dalam ekspansi ini karena semua suku akan memiliki \(x^{-k}\) di mana \(k\) adalah bilangan bulat non-negatif. Jika ada kesalahan ketik dan bentuknya adalah \((2x - 2/x)^8\), maka suku yang mengandung \(x^2\) adalah ketika \((2x)^{8-k} (-2/x)^k = C x^{8-k} x^{-k} = C x^{8-2k}\). Agar \(x^{8-2k} = x^2\), maka \(8-2k = 2\), \(2k = 6\), \(k=3\). Suku tersebut adalah \(\binom{8}{3} (2x)^{8-3} (-2/x)^3 = \binom{8}{3} (2x)^5 (-2/x)^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times 32x^5 \times (-8/x^3) = 56 \times 32 \times (-8) x^2 = -14336 x^2\). Koefisien \(x^2\) adalah -14336. Mengingat soal aslinya, mari kita kembali ke \((2 - 2/x)^8\). Koefisien \(x^2\) tidak ada. Jika kita harus memilih jawaban, dan mengasumsikan ada kesalahan ketik, maka -14336 adalah kemungkinan jika \(a=2x\). Jika soalnya adalah \((2x^2 - 2/x)^8\), maka suku \(x^2\) tidak akan muncul. Dengan format soal seperti itu, kemungkinan besar ada kesalahan pengetikan. Jika kita menganggap pertanyaan mencari koefisien dari \(x^{-2}\), maka jawabannya adalah 7168. Jika kita menganggap pertanyaan mencari koefisien dari \(x^2\) dan ekspansinya adalah \((2x-2/x)^8\), maka jawabannya adalah -14336. Tanpa klarifikasi, soal ini ambigu. Namun, jika kita harus menjawab berdasarkan soal yang tertulis persis, maka koefisien \(x^2\) adalah 0 karena suku tersebut tidak muncul.