Koordinat titik belok f(x)=x^3(x-4) adalah ...

Koordinat titik belok adalah (0, 0) dan (2, -16)

Pembahasan

Diberikan fungsi $f(x) = x^3(x-4)$.
Pertama, kita jabarkan fungsinya menjadi bentuk polinomial:
$f(x) = x^4 - 4x^3$

Untuk mencari titik belok, kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut.

Turunan pertama ($f'(x)$):
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3)$
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2$

Turunan kedua ($f''(x)$):
$f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 12x^2)$
$f''(x) = 12x^2 - 24x$

Titik belok terjadi ketika turunan kedua sama dengan nol ($f''(x) = 0$) atau tidak terdefinisi. Dalam kasus ini, $f''(x)$ adalah polinomial, sehingga selalu terdefinisi.

Atur $f''(x) = 0$:
$12x^2 - 24x = 0$
$12x(x - 2) = 0$

Dari persamaan ini, kita mendapatkan dua nilai kritis untuk x:
$12x = 0 \implies x = 0$
$x - 2 = 0 \implies x = 2$

Sekarang, kita perlu menguji interval yang dibentuk oleh nilai-nilai kritis ini pada garis bilangan untuk menentukan di mana fungsi cekung ke atas ($f''(x) > 0$) dan cekung ke bawah ($f''(x) < 0$). Titik belok terjadi ketika perubahan kecekungan terjadi.

Interval yang perlu diuji adalah $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, dan $(2, \infty)$.

1. Uji pada interval $(-\infty, 0)$: Pilih $x = -1$
   $f''(-1) = 12(-1)^2 - 24(-1) = 12(1) + 24 = 12 + 24 = 36$
   Karena $f''(-1) > 0$, fungsi cekung ke atas pada interval ini.

2. Uji pada interval $(0, 2)$: Pilih $x = 1$
   $f''(1) = 12(1)^2 - 24(1) = 12 - 24 = -12$
   Karena $f''(1) < 0$, fungsi cekung ke bawah pada interval ini.

3. Uji pada interval $(2, \infty)$: Pilih $x = 3$
   $$f''(3) = 12(3)^2 - 24(3) = 12(9) - 72 = 108 - 72 = 36$
   Karena $f''(3) > 0$, fungsi cekung ke atas pada interval ini.

Perubahan kecekungan terjadi pada $x=0$ (dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah) dan pada $x=2$ (dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas).

Oleh karena itu, titik-titik belok terjadi pada $x=0$ dan $x=2$.

Untuk menemukan koordinat titik belok, kita substitusikan nilai x ini kembali ke fungsi asli $f(x)$:

Untuk $x=0$:
$f(0) = (0)^4 - 4(0)^3 = 0 - 0 = 0$
Koordinat titik belok pertama adalah $(0, 0)$.

Untuk $x=2$:
$f(2) = (2)^4 - 4(2)^3 = 16 - 4(8) = 16 - 32 = -16$
Koordinat titik belok kedua adalah $(2, -16)$.

Jadi, koordinat titik belok dari fungsi $f(x) = x^3(x-4)$ adalah $(0, 0)$ dan $(2, -16)$.