Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 10 cm. Jarak titik

Jarak titik B ke garis AG adalah 10/3 akar(6) cm

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri ruang, khususnya mencari jarak antara titik dan garis pada kubus.

Diketahui:
Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk = 10 cm.
Kita perlu mencari jarak titik B ke garis AG.

Untuk memvisualisasikan, bayangkan kubus ABCD di bagian bawah dan EFGH di bagian atas, dengan A di bawah kiri depan, B di bawah kanan depan, C di bawah kanan belakang, D di bawah kiri belakang, E di atas kiri depan, F di atas kanan depan, G di atas kanan belakang, dan H di atas kiri belakang.

Titik B berada di sudut depan bawah.
Garis AG adalah diagonal ruang yang menghubungkan titik A (depan bawah) ke titik G (belakang atas).

Kita dapat menggunakan konsep proyeksi ortogonal untuk mencari jarak titik ke garis. Jarak terpendek dari titik B ke garis AG adalah panjang garis tegak lurus dari B ke AG.

Misalkan kita perhatikan segitiga ABG. Segitiga ini adalah segitiga siku-siku karena AB tegak lurus dengan bidang ADGF, sehingga AB tegak lurus dengan AG.

Panjang sisi-sisi segitiga ABG:
AB = panjang rusuk = 10 cm
BG = diagonal sisi = rusuk * sqrt(2) = 10 * sqrt(2) cm
AG = diagonal ruang = rusuk * sqrt(3) = 10 * sqrt(3) cm

Dalam segitiga siku-siku ABG, dengan siku-siku di A, kita ingin mencari jarak dari B ke hipotenusa AG. Misalkan titik proyeksi B pada AG adalah P. Maka BP adalah jarak yang dicari.

Luas segitiga ABG dapat dihitung dengan dua cara:
1. Luas = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AB * BG (jika siku-siku di B, namun tidak demikian)
2. Luas = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AG * BP (dimana BP adalah tinggi terhadap alas AG)

Namun, segitiga ABG siku-siku di A. Jadi, kita bisa menghitung luasnya sebagai:
Luas = 1/2 * AB * AG = 1/2 * 10 * (10 * sqrt(3)) = 50 * sqrt(3)

Sekarang, kita juga dapat menghitung luasnya dengan alas AG dan tinggi BP (jarak yang dicari):
Luas = 1/2 * AG * BP
50 * sqrt(3) = 1/2 * (10 * sqrt(3)) * BP
50 * sqrt(3) = 5 * sqrt(3) * BP

Untuk mencari BP, kita bagi kedua sisi dengan 5 * sqrt(3):
BP = (50 * sqrt(3)) / (5 * sqrt(3))
BP = 10

Ada kesalahan dalam asumsi bahwa AB tegak lurus AG. Sebenarnya, AB tegak lurus dengan rusuk AE dan AD. AG adalah diagonal ruang.

Mari kita gunakan pendekatan lain:

Proyeksikan titik B ke garis AG. Misalkan proyeksinya adalah P. Kita bisa menggunakan vektor atau koordinat.

Dengan koordinat:
A = (0, 0, 0)
B = (10, 0, 0)
G = (10, 10, 10)

Vektor AG = G - A = (10, 10, 10)
Vektor AB = B - A = (10, 0, 0)

Proyeksi vektor AB pada vektor AG adalah:
Proj_AG(AB) = [(AB . AG) / |AG|^2] * AG

AB . AG = (10 * 10) + (0 * 10) + (0 * 10) = 100
|AG|^2 = 10^2 + 10^2 + 10^2 = 100 + 100 + 100 = 300
|AG| = sqrt(300) = 10 * sqrt(3)

Proj_AG(AB) = [100 / 300] * (10, 10, 10) = (1/3) * (10, 10, 10) = (10/3, 10/3, 10/3)

Ini adalah vektor AP. Jadi, P = (10/3, 10/3, 10/3).

Jarak BP adalah panjang vektor BP = P - B.
Vektor BP = (10/3 - 10, 10/3 - 0, 10/3 - 0)
Vektor BP = (-20/3, 10/3, 10/3)

Panjang BP = |BP| = sqrt((-20/3)^2 + (10/3)^2 + (10/3)^2)
|BP| = sqrt(400/9 + 100/9 + 100/9)
|BP| = sqrt(600/9)
|BP| = sqrt(200/3)
|BP| = sqrt(100 * 2 / 3)
|BP| = 10 * sqrt(2/3)
|BP| = 10 * sqrt(2) / sqrt(3)
|BP| = 10 * sqrt(2) * sqrt(3) / (sqrt(3) * sqrt(3))
|BP| = 10 * sqrt(6) / 3

Jadi, jarak titik B ke garis AG adalah 10/3 akar(6) cm.