Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 8 cm. Titik P dan

3/sqrt(17)

Pembahasan

Untuk menentukan nilai cos theta, kita perlu mencari vektor-vektor yang mewakili bidang GPQ dan ABCD, serta menentukan sudut di antara keduanya.
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik P di tengah AB, Q di tengah AD.
P = (4, 0, 0) (misalkan A=(0,0,0), B=(8,0,0), D=(0,8,0))
Q = (0, 4, 0)
G = (8, 8, 8)
Bidang ABCD terletak pada bidang z=0. Vektor normal untuk bidang ABCD adalah k = (0, 0, 1).
Untuk mencari vektor normal bidang GPQ, kita perlu dua vektor di bidang tersebut, misalnya GP dan GQ.
GP = P - G = (4-8, 0-8, 0-8) = (-4, -8, -8)
GQ = Q - G = (0-8, 4-8, 0-8) = (-8, -4, -8)
Vektor normal bidang GPQ (N) dapat dicari dengan perkalian silang GP x GQ:
N = GP x GQ = 
| i   j   k  |
|-4 -8 -8  |
|-8 -4 -8  |
N = i((-8)(-8) - (-8)(-4)) - j((-4)(-8) - (-8)(-8)) + k((-4)(-4) - (-8)(-8))
N = i(64 - 32) - j(32 - 64) + k(16 - 64)
N = 32i + 32j - 48k = (32, 32, -48)
Kita bisa sederhanakan vektor normal N menjadi (2, 2, -3) dengan membagi dengan 16.
Sudut theta antara dua bidang adalah sudut antara vektor normalnya.
cos theta = |(N1 . N2)| / (|N1| * |N2|)
N1 = (0, 0, 1) (vektor normal ABCD)
N2 = (2, 2, -3) (vektor normal GPQ)
N1 . N2 = (0)(2) + (0)(2) + (1)(-3) = -3
|N1| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1
|N2| = sqrt(2^2 + 2^2 + (-3)^2) = sqrt(4 + 4 + 9) = sqrt(17)
cos theta = |-3| / (1 * sqrt(17))
cos theta = 3 / sqrt(17)
Jadi, nilai cos theta adalah 3/sqrt(17).