Kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuk 12 cm. Titik A

$4\sqrt{3}$ cm

Pembahasan

Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuk = 12 cm.
Titik A adalah perpotongan diagonal OQ dan PR.
Kita perlu mencari jarak antara titik A dan bidang NLQ.

Langkah 1: Tentukan koordinat titik-titik.
Misalkan K = (0, 0, 0).
Karena rusuk = 12, maka:
L = (12, 0, 0)
M = (12, 12, 0)
N = (0, 12, 0)

O = (0, 0, 12)
P = (12, 0, 12)
Q = (12, 12, 12)
R = (0, 12, 12)

Langkah 2: Cari titik A.
Titik A adalah perpotongan diagonal OQ dan PR.
Diagonal OQ menghubungkan O(0, 0, 12) dan Q(12, 12, 12).
Persamaan garis OQ:
$P(t) = O + t(Q-O) = (0, 0, 12) + t(12, 12, 0) = (12t, 12t, 12)$

Diagonal PR menghubungkan P(12, 0, 12) dan R(0, 12, 12).
Persamaan garis PR:
$P(s) = P + s(R-P) = (12, 0, 12) + s(-12, 12, 0) = (12 - 12s, 12s, 12)$

Titik A adalah perpotongan, jadi $P(t) = P(s)$.
$12t = 12 - 12s 	 	 	 (1)$
$12t = 12s 	 	 	 (2)$
$12 = 12 	 	 	 (3)$

Dari (2), $t = s$.
Substitusikan ke (1): $12t = 12 - 12t$
$24t = 12$
$t = 12/24 = 1/2$

Maka, $s = 1/2$.

Substitusikan nilai t ke persamaan OQ untuk mencari koordinat A:
$A = (12(1/2), 12(1/2), 12) = (6, 6, 12)$

Langkah 3: Tentukan bidang NLQ.
Bidang NLQ dibentuk oleh titik N(0, 12, 0), L(12, 0, 0), dan Q(12, 12, 12).

Kita dapat mencari vektor normal bidang (n) dengan hasil kali silang dari dua vektor di bidang tersebut, misalnya NL dan NQ.

Vektor NL = L - N = (12, 0, 0) - (0, 12, 0) = (12, -12, 0)
Vektor NQ = Q - N = (12, 12, 12) - (0, 12, 0) = (12, 0, 12)

Vektor normal $n = NL 	imes NQ$
$n = egin{vmatrix} i & j & k \ 12 & -12 & 0 \ 12 & 0 & 12 
vert
$n = i((-12)(12) - (0)(0)) - j((12)(12) - (0)(12)) + k((12)(0) - (-12)(12))
n = i(-144) - j(144) + k(144)
n = (-144, -144, 144)

Kita bisa menyederhanakan vektor normal dengan membagi dengan -144: $n' = (1, 1, -1)$.

Persamaan bidang NLQ menggunakan titik N(0, 12, 0) dan vektor normal n'=(1, 1, -1):
$1(x - 0) + 1(y - 12) + (-1)(z - 0) = 0$
$x + y - 12 - z = 0$
$x + y - z = 12$

Langkah 4: Hitung jarak titik A(6, 6, 12) ke bidang $x + y - z - 12 = 0$.
Rumus jarak titik $(x_0, y_0, z_0)$ ke bidang $Ax + By + Cz + D = 0$ adalah:
$d = rac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Di sini, $(x_0, y_0, z_0) = (6, 6, 12)$ dan bidangnya adalah $1x + 1y - 1z - 12 = 0$, jadi A=1, B=1, C=-1, D=-12.

$d = rac{|1(6) + 1(6) + (-1)(12) - 12|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}}$
$d = rac{|6 + 6 - 12 - 12|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$
$d = rac{|-12|}{\sqrt{3}}$
$d = rac{12}{\sqrt{3}}$

Untuk merasionalkan penyebut:
$d = rac{12}{\sqrt{3}} 	imes rac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = rac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$

Jadi, jarak antara titik A dan bidang NLQ adalah $4\sqrt{3}$ cm.