Kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 4 cm. Jika a

√6/3

Pembahasan

Untuk menentukan nilai sin a, di mana a adalah sudut antara ruas garis PT dan bidang PUW pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 4 cm, kita perlu:

1.  **Identifikasi Vektor Garis dan Vektor Bidang:**
    *   Ruas garis PT dapat direpresentasikan oleh vektor $\vec{PT}$. Jika kita tetapkan P sebagai titik asal (0,0,0), maka T = (0, 4, 4).
    *   Bidang PUW dibentuk oleh vektor $\vec{PU}$ dan $\vec{PW}$.
        P = (0,0,0)
        U = (4,4,0)
        W = (4,0,4)
        T = (0,4,4)

    *   $
uck{\vec{PT}} = T - P = (0, 4, 4)$
    *   $
uck{\vec{PU}} = U - P = (4, 4, 0)$
    *   $
uck{\vec{PW}} = W - P = (4, 0, 4)$

2.  **Cari Vektor Normal Bidang PUW:**
    Vektor normal bidang (n) dapat dicari dengan hasil perkalian silang antara dua vektor yang membentuk bidang tersebut, misalnya $
uck{\vec{PU}} \times \ruck{\vec{PW}}$.
    $\vec{n} = \vec{PU} \times \vec{PW} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \end{vmatrix}$
    $\vec{n} = i(4*4 - 0*0) - j(4*4 - 0*4) + k(4*0 - 4*4)$
    $\vec{n} = 16i - 16j - 16k = (16, -16, -16)$
    Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi $\vec{n'} = (1, -1, -1)$.

3.  **Hitung Sudut antara Garis dan Bidang:**
    Sudut $\alpha$ antara garis dengan vektor arah $
uck{v}$ dan bidang dengan vektor normal $
uck{n}$ diberikan oleh:
    $\sin{\alpha} = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$
    Di sini, $
uck{v} = 
uck{PT} = (0, 4, 4)$ dan $
uck{n} = (1, -1, -1)$.

    *   Hitung dot product: $
uck{PT} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (4)(-1) + (4)(-1) = 0 - 4 - 4 = -8$.
    *   Nilai absolut dari dot product: $|-8| = 8$.
    *   Hitung panjang vektor $
uck{PT}$: $|\vec{PT}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
    *   Hitung panjang vektor normal $
uck{n}$: $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

    *   Maka, $\sin{\alpha} = \frac{8}{(4\sqrt{2})(\sqrt{3})} = \frac{8}{4\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Jadi, nilai $\sin{\alpha}$ adalah $\frac{\sqrt{6}}{3}$.