Kurva 2 x+y=12 di transformasi oleh (3 1 4 2) . Tentukan

Peta kurvanya adalah garis y = 24.

Pembahasan

Untuk menentukan peta kurva dari persamaan 2x + y = 12 yang ditransformasikan oleh matriks {{3, 1}, {4, 2}}, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. **Representasi Matriks Transformasi:** Matriks transformasi yang diberikan adalah `T = {{3, 1}, {4, 2}}`. Ini berarti transformasi tersebut memetakan titik (x, y) ke titik (x', y') sedemikian rupa sehingga:
x' = 3x + y
y' = 4x + 2y

2. **Mencari Hubungan antara (x, y) dan (x', y'):** Kita perlu mengekspresikan x dan y dalam bentuk x' dan y'. Untuk melakukan ini, kita dapat menggunakan invers dari matriks transformasi T. Namun, sebelum itu, kita perlu memastikan bahwa matriks T dapat dibalik (invertible), yaitu determinannya tidak nol.

   Determinan T = (3 * 2) - (1 * 4) = 6 - 4 = 2.

   Karena determinannya tidak nol, matriks T dapat dibalik.

3. **Menghitung Invers Matriks Transformasi:**
   Invers dari matriks T, dilambangkan T⁻¹, adalah:
   T⁻¹ = (1 / det(T)) * {{2, -1}, {-4, 3}}
   T⁻¹ = (1 / 2) * {{2, -1}, {-4, 3}}
   T⁻¹ = {{1, -1/2}, {-2, 3/2}}

4. **Menerapkan Invers pada (x', y'):** Sekarang, kita dapat menemukan x dan y dalam bentuk x' dan y':
   {{x}, {y}} = T⁻¹ * {{x'}, {y'}}
   {{x}, {y}} = {{1, -1/2}, {-2, 3/2}} * {{x'}, {y'}}

   Ini memberikan kita:
x = x' - (1/2)y'
y = -2x' + (3/2)y'

5. **Substitusi ke Persamaan Kurva Asli:** Sekarang kita substitusikan ekspresi untuk x dan y ini ke dalam persamaan kurva asli, yaitu 2x + y = 12:

   2 * (x' - (1/2)y') + (-2x' + (3/2)y') = 12

6. **Menyederhanakan Persamaan:**
   2x' - y' - 2x' + (3/2)y' = 12
   (-1 + 3/2)y' = 12
   (1/2)y' = 12
   y' = 24

7. **Menentukan Peta Kurva:** Persamaan y' = 24 adalah peta dari kurva asli setelah transformasi. Dalam notasi (x, y), peta kurvanya adalah garis horizontal y = 24.