lim->0 (x tan 3x)/(cos 6x-1)= ....

Hasilnya adalah $-\frac{1}{6}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{x \tan 3x}{\cos 6x - 1}$, kita dapat menggunakan sifat limit trigonometri dasar dan manipulasi aljabar.

Kita tahu bahwa $\lim_{y \to 0} \frac{\tan y}{y} = 1$ dan $\lim_{y \to 0} \frac{1 - \cos y}{y^2} = \frac{1}{2}$.

Mari kita manipulasi ekspresi tersebut:

$\frac{x \tan 3x}{\cos 6x - 1} = \frac{x \tan 3x}{- (1 - \cos 6x)}$

Kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan $3x$ dan $(6x)^2$ untuk menggunakan sifat limit yang diketahui:

$\frac{x \tan 3x}{-(1 - \cos 6x)} \times \frac{3x}{3x} \times \frac{(6x)^2}{(6x)^2}$

$= \frac{x \cdot 3x}{-(6x)^2} \times \frac{\tan 3x}{3x} \times \frac{(6x)^2}{1 - \cos 6x}$

$= \frac{3x^2}{-36x^2} \times \frac{\tan 3x}{3x} \times \frac{1}{\frac{1 - \cos 6x}{(6x)^2}}$

$= -\frac{3}{36} \times \frac{\tan 3x}{3x} \times \frac{1}{\frac{1 - \cos 6x}{(6x)^2}}$

$= -\frac{1}{12} \times \frac{\tan 3x}{3x} \times \frac{1}{\frac{1 - \cos 6x}{(6x)^2}}$

Sekarang, kita ambil limitnya saat $x \to 0$:

$\lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{12} \times \frac{\tan 3x}{3x} \times \frac{1}{\frac{1 - \cos 6x}{(6x)^2}} \right)$

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} = 1$ (karena jika $y=3x$, maka $\lim_{y \to 0} \frac{\tan y}{y} = 1$).
Dan $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 6x}{(6x)^2} = \frac{1}{2}$ (karena jika $y=6x$, maka $\lim_{y \to 0} \frac{1 - \cos y}{y^2} = \frac{1}{2}$).

Jadi, limitnya adalah:

$- \frac{1}{12} \times 1 \times \frac{1}{\frac{1}{2}}$

$= -\frac{1}{12} \times 1 \times 2$

$= -\frac{2}{12}$

$= -\frac{1}{6}$

Jadi, hasil dari $\lim_{x \to 0} \frac{x \tan 3x}{\cos 6x - 1}$ adalah $-\frac{1}{6}$.