lim x->0 xtanx /xsinx-cosx+1 =

2/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 saat x=0.

Langkah 1: Terapkan aturan L'Hopital pada fungsi.
Turunan dari pembilang (xtanx) adalah tanx + xsec^2x.
Turunan dari penyebut (xsinx - cosx + 1) adalah sinx + xcosx + sinx = 2sinx + xcosx.

Limitnya menjadi: lim x->0 (tanx + xsec^2x) / (2sinx + xcosx)

Langkah 2: Substitusikan x=0 ke dalam hasil turunan.
Pembilang: tan(0) + 0 * sec^2(0) = 0 + 0 * 1 = 0
Penyebut: 2sin(0) + 0 * cos(0) = 2 * 0 + 0 * 1 = 0

Karena masih berbentuk 0/0, kita terapkan aturan L'Hopital lagi.

Langkah 3: Terapkan aturan L'Hopital untuk kedua kalinya.
Turunan dari pembilang (tanx + xsec^2x) adalah sec^2x + sec^2x + x * 2secx(secx tanx) = 2sec^2x + 2xsec^2xtanx.
Turunan dari penyebut (2sinx + xcosx) adalah 2cosx + cosx + x(-sinx) = 3cosx - xsinx.

Limitnya menjadi: lim x->0 (2sec^2x + 2xsec^2xtanx) / (3cosx - xsinx)

Langkah 4: Substitusikan x=0 ke dalam hasil turunan kedua.
Pembilang: 2sec^2(0) + 2*0*sec^2(0)tan(0) = 2*1^2 + 0 = 2
Penyebut: 3cos(0) - 0*sin(0) = 3*1 - 0 = 3

Jadi, nilai limitnya adalah 2/3.