lim x->1 (1/(1-x)-3/(1-x^3))=....

Nilai limit adalah -1 setelah menyederhanakan ekspresi.

Pembahasan

Pertanyaan ini berkaitan dengan limit fungsi aljabar. Kita diminta untuk menghitung nilai dari \( 	ext{lim}_{x \to 1} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3} \right) \). Langkah pertama adalah menyamakan penyebut dari kedua pecahan. Perhatikan bahwa \( 1-x^3 = (1-x)(1+x+x^2) \).

\( rac{1}{1-x} - rac{3}{1-x^3} = rac{1(1+x+x^2)}{(1-x)(1+x+x^2)} - rac{3}{(1-x)(1+x+x^2)} \)

\( = rac{1+x+x^2 - 3}{(1-x)(1+x+x^2)} \)

\( = rac{x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)} \)

Selanjutnya, kita faktorkan pembilang \( x^2+x-2 \). Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -2 dan jika dijumlahkan menghasilkan 1. Bilangan tersebut adalah 2 dan -1. Jadi, \( x^2+x-2 = (x+2)(x-1) \).

Maka, ekspresi menjadi:

\( rac{(x+2)(x-1)}{(1-x)(1+x+x^2)} \)

Perhatikan bahwa \( 1-x = -(x-1) \). Sehingga, kita bisa menyederhanakan:

\( rac{(x+2)(x-1)}{-(x-1)(1+x+x^2)} \)

\( = -rac{x+2}{1+x+x^2} \)

Sekarang kita substitusikan \( x = 1 \) ke dalam ekspresi yang disederhanakan:

\( 	ext{lim}_{x \to 1} \left( -rac{x+2}{1+x+x^2} 
ight) = -rac{1+2}{1+1+1^2} \)

\( = -rac{3}{1+1+1} \)

\( = -rac{3}{3} \)

\( = -1 \)