lim x->1 (1- akar(x))/(1-x^2)=...

Hasil dari lim x->1 (1 - akar(x))/(1 - x^2) adalah 1/4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim x->1 (1 - akar(x))/(1 - x^2), kita dapat menggunakan beberapa metode, seperti substitusi langsung, faktorisasi, atau aturan L'Hopital.

Metode 1: Substitusi Langsung
Jika kita substitusikan x = 1 ke dalam persamaan, kita mendapatkan (1 - akar(1))/(1 - 1^2) = (1 - 1)/(1 - 1) = 0/0. Ini adalah bentuk tak tentu, sehingga kita perlu menggunakan metode lain.

Metode 2: Faktorisasi dan Penyederhanaan
Kita bisa memfaktorkan penyebut (1 - x^2) sebagai selisih dua kuadrat: (1 - x)(1 + x).
Untuk pembilang, kita bisa mengalikan dengan konjugatnya, yaitu (1 + akar(x)), untuk menghilangkan akar:

(1 - akar(x)) / (1 - x^2) = (1 - akar(x)) / ((1 - x)(1 + x))

Kita tahu bahwa 1 - x = (1 - akar(x))(1 + akar(x)). Jadi, kita bisa substitusikan ini ke dalam penyebut:

= (1 - akar(x)) / (((1 - akar(x))(1 + akar(x)))(1 + x))

Sekarang, kita bisa membatalkan faktor (1 - akar(x)):

= 1 / ((1 + akar(x))(1 + x))

Sekarang, kita substitusikan x = 1 ke dalam persamaan yang disederhanakan:

= 1 / ((1 + akar(1))(1 + 1))
= 1 / ((1 + 1)(2))
= 1 / (2 * 2)
= 1/4.

Metode 3: Aturan L'Hopital
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menerapkan aturan L'Hopital, yang menyatakan bahwa limit dari suatu hasil bagi adalah limit dari turunan pembilang dibagi dengan turunan penyebut.

Turunan pembilang (1 - akar(x)) adalah d/dx(1 - x^(1/2)) = 0 - (1/2)x^(-1/2) = -1 / (2 akar(x)).
Turunan penyebut (1 - x^2) adalah d/dx(1 - x^2) = 0 - 2x = -2x.

Sekarang, kita ambil limit dari hasil bagi turunan tersebut:

lim x->1 [-1 / (2 akar(x))] / [-2x]

Substitusikan x = 1:

[-1 / (2 akar(1))] / [-2 * 1]
= [-1 / 2] / [-2]
= (-1/2) * (-1/2)
= 1/4.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Maka, lim x->1 (1 - akar(x))/(1 - x^2) = 1/4.