lim x->1 {(2x-2)/(akar(x)-x)}=...

-4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 1} \frac{2x-2}{\sqrt{x}-x}$, pertama kita substitusikan x=1 ke dalam persamaan:
Pembilang: 2(1) - 2 = 0
Penyebut: $\sqrt{1} - 1 = 1 - 1 = 0$
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menyederhanakan persamaan tersebut. Salah satu cara adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut.
Konjugat dari $\sqrt{x}-x$ adalah $\sqrt{x}+x$.

$\lim_{x \to 1} \frac{2x-2}{\sqrt{x}-x} \times \frac{\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}+x}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(2x-2)(\sqrt{x}+x)}{(\sqrt{x}-x)(\sqrt{x}+x)}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(2x-2)(\sqrt{x}+x)}{(x - x^2)}$

Kita bisa memfaktorkan (2x-2) menjadi 2(x-1) dan (x - x^2) menjadi x(1-x) = -x(x-1).

$= \lim_{x \to 1} \frac{2(x-1)(\sqrt{x}+x)}{-x(x-1)}$

Kita bisa membatalkan (x-1) dari pembilang dan penyebut (karena x mendekati 1, x tidak sama dengan 1).

$= \lim_{x \to 1} \frac{2(\sqrt{x}+x)}{-x}$

Sekarang, kita substitusikan kembali x=1:

$= \frac{2(\sqrt{1}+1)}{-1}$

$= \frac{2(1+1)}{-1}$

$= \frac{2(2)}{-1}$

$= \frac{4}{-1}$

$= -4$

Jadi, $\lim_{x \to 1} \frac{2x-2}{\sqrt{x}-x} = -4$.