lim x->1 (akar(x^2+3)-x-1)/(1-x^2)=...

1/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}-x-1}{1-x^2}$, kita pertama-tama akan mencoba substitusi langsung nilai x = 1.

Pembilang: $\sqrt{1^2+3} - 1 - 1 = \sqrt{1+3} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$
Penyebut: $1 - 1^2 = 1 - 1 = 0$

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan metode L'Hôpital atau mengalikan dengan bentuk sekawan.

**Metode 1: Mengalikan dengan Bentuk Sekawan**
Kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari pembilang, yaitu $\sqrt{x^2+3} + x + 1$.

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}-x-1}{1-x^2} \times \frac{\sqrt{x^2+3}+(x+1)}{\sqrt{x^2+3}+(x+1)}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x^2+3})^2 - (x+1)^2}{(1-x^2)(\sqrt{x^2+3}+x+1)}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(x^2+3) - (x^2+2x+1)}{(1-x^2)(\sqrt{x^2+3}+x+1)}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{x^2+3-x^2-2x-1}{(1-x^2)(\sqrt{x^2+3}+x+1)}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{2-2x}{(1-x^2)(\sqrt{x^2+3}+x+1)}$

Kita bisa memfaktorkan $2-2x = -2(x-2)$ dan $1-x^2 = (1-x)(1+x) = -(x-1)(x+1)$.
Namun, lebih mudah melihat $2-2x = 2(1-x)$.

$= \lim_{x \to 1} \frac{2(1-x)}{(1-x)(1+x)(\sqrt{x^2+3}+x+1)}$

Kita bisa membatalkan $(1-x)$ dari pembilang dan penyebut (karena $x \to 1$, maka $x \neq 1$).

$= \lim_{x \to 1} \frac{2}{(1+x)(\sqrt{x^2+3}+x+1)}$

Sekarang substitusikan x = 1:

$= \frac{2}{(1+1)(\sqrt{1^2+3}+1+1)}$

$= \frac{2}{(2)(\sqrt{4}+2)}$

$= \frac{2}{(2)(2+2)}$

$= \frac{2}{(2)(4)}$

$= \frac{2}{8}$

$= \frac{1}{4}$

**Metode 2: Aturan L'Hôpital**
Karena kita mendapatkan bentuk 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Turunan Pembilang: $\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+3}-x-1) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+3}} \cdot 2x - 1 = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}} - 1$
Turunan Penyebut: $\frac{d}{dx}(1-x^2) = -2x$

Sekarang hitung limit dari hasil turunan:

$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+3}} - 1}{-2x}$

Substitusikan x = 1:

$= \frac{\frac{1}{\sqrt{1^2+3}} - 1}{-2(1)}$

$= \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} - 1}{-2}$

$= \frac{\frac{1}{2} - 1}{-2}$

$= \frac{-\frac{1}{2}}{-2}$

$= \frac{1}{4}$

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jadi, $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}-x-1}{1-x^2} = \frac{1}{4}$