Lim x->2 (akar(3 x^2+8x-3)-akar(4x^2+9))/(x-2)=...

Nilai limitnya adalah 2/5.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari nilai limit dari suatu fungsi yang melibatkan akar kuadrat. Fungsi tersebut adalah (akar(3x^2+8x-3)-akar(4x^2+9))/(x-2) ketika x mendekati 2.

Langkah pertama adalah mencoba mensubstitusikan x = 2 ke dalam fungsi untuk melihat apakah hasilnya tak tentu (0/0).
Pembilang: akar(3(2)^2+8(2)-3) - akar(4(2)^2+9) = akar(3(4)+16-3) - akar(4(4)+9) = akar(12+16-3) - akar(16+9) = akar(25) - akar(25) = 5 - 5 = 0.
Penyebut: 2 - 2 = 0.
Karena hasilnya adalah 0/0, kita perlu menggunakan metode lain, seperti mengalikan dengan akar sekawan atau menggunakan aturan L'Hopital.

Kita akan menggunakan metode akar sekawan:
Kalikan pembilang dan penyebut dengan akar sekawan dari pembilang, yaitu (akar(3x^2+8x-3)+akar(4x^2+9)).

lim x->2 [ (akar(3x^2+8x-3)-akar(4x^2+9))/(x-2) ] * [ (akar(3x^2+8x-3)+akar(4x^2+9))/(akar(3x^2+8x-3)+akar(4x^2+9)) ]

= lim x->2 [ (3x^2+8x-3) - (4x^2+9) ] / [ (x-2)(akar(3x^2+8x-3)+akar(4x^2+9)) ]

= lim x->2 [ 3x^2+8x-3 - 4x^2-9 ] / [ (x-2)(akar(3x^2+8x-3)+akar(4x^2+9)) ]

= lim x->2 [ -x^2+8x-12 ] / [ (x-2)(akar(3x^2+8x-3)+akar(4x^2+9)) ]

Sekarang, faktorkan pembilang -x^2+8x-12. Kita cari dua angka yang jika dikalikan menghasilkan -12 dan jika dijumlahkan menghasilkan 8. Angka tersebut adalah -2 dan -6. Jadi, -x^2+8x-12 = -(x^2-8x+12) = -(x-2)(x-6) = (x-2)(-x+6).

= lim x->2 [ (x-2)(-x+6) ] / [ (x-2)(akar(3x^2+8x-3)+akar(4x^2+9)) ]

Kita bisa mencoret (x-2) dari pembilang dan penyebut karena x mendekati 2 (x tidak sama dengan 2).

= lim x->2 [ (-x+6) ] / [ akar(3x^2+8x-3)+akar(4x^2+9) ]

Sekarang, substitusikan x = 2:

= (-2+6) / [ akar(3(2)^2+8(2)-3)+akar(4(2)^2+9) ]

= 4 / [ akar(12+16-3)+akar(16+9) ]

= 4 / [ akar(25)+akar(25) ]

= 4 / (5+5)

= 4 / 10

= 2/5

Maka, nilai limitnya adalah 2/5.