Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulus Diferensial

lim x-> (akar(1+tan x)-akar(1+sin x))/x^3= ....

Pertanyaan

lim x-> 0 (akar(1+tan x)-akar(1+sin x))/x^3= ....

Solusi

Verified

1/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan L'Hôpital's Rule karena bentuk awalnya adalah 0/0. Limit yang diberikan adalah: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3} $$ Jika kita substitusikan x = 0: $\tan(0) = 0$ $\sin(0) = 0$ Maka, pembilangnya menjadi $\sqrt{1+0} - \sqrt{1+0} = 1 - 1 = 0$. Penyebutnya menjadi $0^3 = 0$. Karena bentuknya adalah 0/0, kita bisa menggunakan L'Hôpital's Rule. **Langkah 1: Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.** Turunan pembilang (menggunakan aturan rantai): $d/dx (\sqrt{1+\tan x}) = 1/(2\sqrt{1+\tan x}) * sec^2 x$ $d/dx (\sqrt{1+\sin x}) = 1/(2\sqrt{1+\sin x}) * \cos x$ Maka, turunan pembilang adalah: $$ \frac{sec^2 x}{2\sqrt{1+\tan x}} - \frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}} $$ Turunan penyebut: $d/dx (x^3) = 3x^2$ Jadi, limitnya menjadi: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{sec^2 x}{2\sqrt{1+\tan x}} - \frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}}{3x^2} $$ Jika kita substitusikan x = 0 lagi: $\sec(0) = 1$, $\cos(0) = 1$ Pembilang: $(1/(2\sqrt{1+0})) - (1/(2\sqrt{1+0})) = 1/2 - 1/2 = 0$ Penyebut: $3(0)^2 = 0$ Bentuknya masih 0/0, jadi kita perlu menerapkan L'Hôpital's Rule lagi. **Langkah 2: Turunkan pembilang dan penyebut lagi.** Ini akan menjadi cukup rumit. Mari kita coba pendekatan lain dengan manipulasi aljabar terlebih dahulu, yaitu mengalikan dengan sekawan. $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3} \times \frac{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} $$ $$ = \lim_{x \to 0} \frac{(1+\tan x) - (1+\sin x)}{x^3(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})} $$ $$ = \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})} $$ Kita tahu bahwa $\tan x = \sin x / \cos x$. Maka: $$ = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})} $$ Keluarkan $\sin x$ dari pembilang: $$ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (\frac{1}{\cos x} - 1)}{x^3(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})} $$ $$ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (\frac{1-\cos x}{\cos x})}{x^3(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})} $$ Pisahkan limitnya: $$ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \times \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} \times \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})} $$ Kita tahu: * $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ * $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = 1/2$ * $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})} = \frac{1}{1(\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0})} = \frac{1}{1(1+1)} = 1/2$ Jadi, hasil limitnya adalah: $1 \times 1/2 \times 1/2 = 1/4$ Oleh karena itu, $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3} = 1/4$.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Trigonometri, L Hopital S Rule

Apakah jawaban ini membantu?