lim _(x -> (pi)/(4))[(cot x-tan x)/(cos x-sin x)]=...

2√2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.
Pertama, ubah cot x menjadi cos x / sin x dan tan x menjadi sin x / cos x.
lim (x->pi/4) [ (cos x / sin x) - (sin x / cos x) ] / (cos x - sin x)
Sederhanakan pembilang:
lim (x->pi/4) [ (cos^2 x - sin^2 x) / (sin x cos x) ] / (cos x - sin x)
Gunakan identitas cos^2 x - sin^2 x = cos(2x) dan sin x cos x = (1/2)sin(2x):
lim (x->pi/4) [ cos(2x) / ((1/2)sin(2x)) ] / (cos x - sin x)
lim (x->pi/4) [ 2 cot(2x) ] / (cos x - sin x)
Ini masih menghasilkan bentuk 0/0 jika kita substitusi x=pi/4. Mari kita kembali ke bentuk cos^2 x - sin^2 x = (cos x - sin x)(cos x + sin x).
lim (x->pi/4) [ (cos x - sin x)(cos x + sin x) / (sin x cos x) ] / (cos x - sin x)
Batalkan (cos x - sin x):
lim (x->pi/4) [ (cos x + sin x) / (sin x cos x) ]
Substitusi x = pi/4:
(cos(pi/4) + sin(pi/4)) / (sin(pi/4)cos(pi/4))
(sqrt(2)/2 + sqrt(2)/2) / ((sqrt(2)/2)(sqrt(2)/2))
(sqrt(2)) / (2/4)
(sqrt(2)) / (1/2)
2 * sqrt(2)