lim x->pi (akar(cos x+5)-2)/((pi-x)^2)=....

1/8

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan manipulasi aljabar.

Limit yang diberikan adalah: lim x->pi (akar(cos x + 5) - 2) / ((pi - x)^2)

Misalkan y = pi - x. Maka, x = pi - y. Ketika x mendekati pi, y mendekati 0.
Kita juga perlu mengekspresikan cos x dalam bentuk y:
cos x = cos(pi - y)
Menggunakan identitas trigonometri cos(pi - y) = -cos y.
Jadi, cos x = -cos y.

Sekarang substitusikan ke dalam limit:
lim y->0 (akar(-cos y + 5) - 2) / (y^2)

Jika kita substitusikan y = 0 langsung, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 (karena akar(cos 0 + 5) - 2 = akar(1 + 5) - 2 = akar(6) - 2, yang bukan 0. Mari kita cek kembali soalnya. Sepertinya ada kesalahan dalam pemahaman soal awal atau ada typo. Asumsikan soalnya adalah lim x->pi (akar(cos x + 4) - 2) / ((pi - x)^2) agar menghasilkan bentuk 0/0 yang umum pada soal limit.

Mari kita gunakan soal yang dimodifikasi: lim x->pi (akar(cos x + 4) - 2) / ((pi - x)^2)

Substitusi y = pi - x, sehingga x = pi - y dan cos x = -cos y:
lim y->0 (akar(-cos y + 4) - 2) / (y^2)

Sekarang substitusi y = 0 menghasilkan: (akar(-cos 0 + 4) - 2) / (0^2) = (akar(-1 + 4) - 2) / 0 = (akar(3) - 2) / 0. Ini masih bukan bentuk 0/0.

Mari kita coba lagi asumsi lain. Kemungkinan besar di soal tertulis cos x, tetapi yang dimaksud adalah konstanta atau fungsi lain yang jika x->pi hasilnya membuat pembilang menjadi 0. Jika kita kembali ke soal asli:
lim x->pi (akar(cos x + 5) - 2) / ((pi - x)^2)

Ketika x mendekati pi, cos x mendekati cos pi = -1.
Jadi, pembilang mendekati akar(-1 + 5) - 2 = akar(4) - 2 = 2 - 2 = 0.

Penyebut mendekati (pi - pi)^2 = 0^2 = 0.
Ini memang bentuk 0/0. Sekarang kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau ekspansi Taylor.

Metode Aturan L'Hopital:
Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x.
Turunan pembilang: d/dx [akar(cos x + 5) - 2] = 1 / (2 * akar(cos x + 5)) * (-sin x)
Turunan penyebut: d/dx [(pi - x)^2] = 2 * (pi - x) * (-1) = -2(pi - x)

Limit baru: lim x->pi [(-sin x) / (2 * akar(cos x + 5) * -2(pi - x))]
= lim x->pi [sin x / (4 * akar(cos x + 5) * (pi - x))]

Ini masih menghasilkan bentuk 0/0 karena sin pi = 0 dan (pi - x) -> 0.
Kita perlu menggunakan L'Hopital lagi atau metode lain.

Mari kita coba substitusi y = pi - x lagi, sehingga x = pi - y dan sin x = sin(pi - y) = sin y.
Limit menjadi: lim y->0 [sin y / (4 * akar(-cos y + 5) * y)]

Kita tahu bahwa lim y->0 (sin y / y) = 1.
Jadi, limitnya menjadi: (1 / (4 * akar(-cos 0 + 5))) * lim y->0 (sin y / y)
= (1 / (4 * akar(-1 + 5))) * 1
= (1 / (4 * akar(4))) * 1
= (1 / (4 * 2)) * 1
= 1/8

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah 1/8.